Алгебра · 7 класс · Алгебра ФГОС · урок 8 · только теория
Степень с натуральным показателем
Степень с натуральным показателем — это способ кратко записывать умножение одинаковых чисел. Мы научимся понимать, что такое основание и показатель, и как быстро считать большие числа, не перемножая их вручную.
Чему учимся понимать
Научиться понимать, что такое степень, как её вычислять и применять для записи больших и малых чисел.
Зачем это нужно
Степени используются везде: в науке для записи огромных расстояний (например, до звёзд), в технике для описания мощности, в экономике для расчёта процентов. Без степеней было бы очень неудобно записывать и считать большие числа.
Опорные понятия
Главные тезисы
- Степень с натуральным показателем — это краткая запись произведения одинаковых множителей.
- Основание степени — число, которое умножается само на себя.
- Показатель степени — число, которое показывает, сколько раз основание умножается на себя.
- Возведение в степень — это действие, обратное извлечению корня (но в 7 классе мы только знакомимся с этим).
- Любое число в первой степени равно самому себе.
- Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице (это важно для будущих тем).
- Квадрат числа — это вторая степень, куб — третья.
- Степень с натуральным показателем — это частный случай степени с целым показателем (который будет позже).
Определения
- Степень
- Выражение вида aⁿ, где a — основание, n — показатель. Это короткая запись умножения числа a само на себя n раз.
- Основание степени
- Число, которое умножается само на себя. Например, в выражении 5³ основание — 5.
- Показатель степени
- Число, которое показывает, сколько раз основание умножается на себя. Например, в 5³ показатель — 3.
- Натуральный показатель
- Показатель, который является натуральным числом (1, 2, 3, 4, ...).
- Квадрат числа
- Вторая степень числа, то есть число, умноженное само на себя. Например, 4² = 4 × 4 = 16.
- Куб числа
- Третья степень числа, то есть число, умноженное само на себя три раза. Например, 2³ = 2 × 2 × 2 = 8.
Ключевые факты и правила
- a¹ = a — любое число в первой степени равно самому себе.
- a⁰ = 1 (при a ≠ 0) — любое ненулевое число в нулевой степени равно единице.
- При возведении отрицательного числа в степень с чётным показателем результат положительный, с нечётным — отрицательный. Например, (-2)² = 4, (-2)³ = -8.
- Степень с натуральным показателем — это сокращённая запись умножения: aⁿ = a × a × ... × a (n раз).
- Порядок действий: сначала возведение в степень, потом умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Теория
Пойми, что степень — это просто сокращение для умножения одинаковых чисел.
Научись определять основание и показатель в записи aⁿ.
Запомни особые случаи: a¹ = a и a⁰ = 1 (при a ≠ 0).
Потренируйся возводить в степень положительные и отрицательные числа, обращая внимание на знак.
Используй степени для записи больших чисел и упрощения вычислений.
Примеры
- Пример 1расчёт
- Если у тебя 3 коробки, в каждой по 3 мяча, а в каждом мяче по 3 наклейки
- то всего наклеек 3³ = 27. Это быстрее, чем считать 3 × 3 × 3
- Пример 2случай
- Площадь квадрата со стороной 5 см равна 5² = 25 см²
- Это квадрат числа
- Пример 3случай
- Объём куба с ребром 2 м равен 2³ = 8 м³
- Это куб числа
- Пример 4расчёт
В биологии
Решение
- количество бактерий удваивается каждый час
- Через 10 часов их будет 2¹⁰ = 1024, а не 2 × 10 = 20
Интересно знать
- Самый большой известный простой число (на 2024 год) — это 2⁸²⁵⁸⁹⁹³³ − 1, оно содержит более 24 миллионов цифр!
- В Древнем Египте для записи больших чисел использовали иероглифы, а степени появились только в XVII веке благодаря математику Рене Декарту.
Связанные темы
- Умножение и деление степеней с одинаковыми основаниями
- Степень с целым показателем
- Одночлены и многочлены
- Формулы сокращённого умножения