Алгебра · 7 класс · Алгебра ФГОС · урок 4 · только теория
Свойства степени
Свойства степени — это правила, которые позволяют быстро и без ошибок выполнять действия со степенями: умножать, делить, возводить степень в степень. Эти свойства превращают громоздкие выражения с большими числами в компактные и удобные для вычислений.
Чему учимся понимать
Научиться понимать и применять основные свойства степени для упрощения выражений и вычислений.
Зачем это нужно
Степени повсюду: от вычисления площадей и объёмов до описания роста бактерий, радиосигнала или количества информации. Свойства степени позволяют быстро считать и записывать очень большие и очень маленькие числа, а также лежат в основе многих разделов математики, физики и информатики.
Опорные понятия
Главные тезисы
- Степень числа a с натуральным показателем n — это произведение n множителей, каждый из которых равен a.
- При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а показатели складывают.
- При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а из показателя делимого вычитают показатель делителя.
- При возведении степени в степень основание оставляют прежним, а показатели перемножают.
- Степень произведения равна произведению степеней каждого множителя.
- Степень частного равна частному степеней делимого и делителя.
- Любое ненулевое число в нулевой степени равно единице.
Определения
- Степень числа
- Краткая запись произведения одинаковых множителей. Например, 5³ = 5·5·5.
- Основание степени
- Число, которое умножается само на себя. В выражении 5³ основание — 5.
- Показатель степени
- Число, которое показывает, сколько раз основание умножается само на себя. В выражении 5³ показатель — 3.
- Степень с нулевым показателем
- Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно 1. Например, 7⁰ = 1.
Ключевые факты и правила
- aⁿ · aᵐ = aⁿ⁺ᵐ — при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются.
- aⁿ : aᵐ = aⁿ⁻ᵐ (a ≠ 0) — при делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитаются.
- (aⁿ)ᵐ = aⁿ·ᵐ — при возведении степени в степень показатели перемножаются.
- (a·b)ⁿ = aⁿ·bⁿ — степень произведения равна произведению степеней.
- (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ (b ≠ 0) — степень частного равна частному степеней.
- a⁰ = 1 (a ≠ 0) — любое ненулевое число в нулевой степени равно 1.
Теория
Вспомни, что такое степень: это сокращённая запись умножения одинаковых чисел.
Пойми, что свойства степени работают только тогда, когда основания одинаковые (для умножения и деления) или когда степень возводится в степень.
Запомни три главных правила: сложение показателей при умножении, вычитание при делении, умножение при возведении в степень.
Научись применять свойства для упрощения выражений: сначала приводи к одинаковым основаниям, затем применяй правило.
Помни, что степень с нулевым показателем — это частный случай, который часто встречается в уравнениях и формулах.
Примеры
- Пример 1случай
- 2³ · 2⁴ = 2⁷ = 128
- Действительно, 2³ = 8, 2⁴ = 16, 8·16 = 128
- Пример 2расчёт
5⁶
Решение
- 5² = 5⁴ = 625
- Проверка: 5⁶ = 15625, 5² = 25, 15625 : 25 = 625
- Пример 3случай
- (3²)³ = 3⁶ = 729
- Проверка: 3² = 9, 9³ = 729
- Пример 4расчёт
- (2·5)³ = 2³·5³ = 8·125 = 1000. Здесь видно
- что 10³ = 1000
- Пример 5случай
- 10⁰ = 1, 7⁰ = 1, но 0⁰ не определено
Интересно знать
- С помощью степеней можно записать огромные числа: например, масса Земли примерно 6·10²⁴ кг — это 6 с 24 нулями!
- Степени помогают описывать рост бактерий: если одна бактерия делится каждые 20 минут, то через 2 часа их будет 2⁶ = 64, а через 4 часа — 2¹² = 4096.
Связанные темы
- Умножение и деление рациональных чисел
- Одночлены и многочлены
- Формулы сокращённого умножения