Алгебра · 7 класс · Алгебра ФГОС · урок 16 · только теория
Многочлены. Стандартный вид многочлена
Многочлены — это алгебраические выражения, состоящие из суммы одночленов. Мы научимся приводить их к стандартному виду, чтобы удобно было выполнять действия и сравнивать выражения.
Чему учимся понимать
Научиться понимать, что такое многочлен, и приводить его к стандартному виду, используя правила сложения и умножения одночленов.
Зачем это нужно
Многочлены — основа алгебры: они описывают множество реальных процессов (от расчёта площади до физических формул). Умение приводить их к стандартному виду помогает упрощать вычисления и решать уравнения.
Опорные понятия
Главные тезисы
- Многочлен — это сумма одночленов, где каждый одночлен называется членом многочлена.
- Одночлен — это произведение чисел, переменных и их степеней (например, 3x²y).
- Стандартный вид одночлена — когда на первом месте стоит числовой множитель (коэффициент), затем переменные в алфавитном порядке.
- Стандартный вид многочлена — каждый член записан в стандартном виде, и среди них нет подобных (все подобные уже приведены).
- Подобные члены — это одночлены с одинаковой буквенной частью (например, 2x²y и -5x²y).
- Приведение подобных членов — это сложение их коэффициентов с сохранением буквенной части.
- Свободный член — это член многочлена без переменной (число).
- Степень многочлена — это наибольшая из степеней его членов (степень одночлена — сумма показателей переменных).
Определения
- Многочлен
- Выражение, которое является суммой одночленов. Например, 3x² + 2x - 5 — многочлен.
- Одночлен
- Произведение чисел, переменных и их степеней. Например, 4a²b — одночлен.
- Стандартный вид многочлена
- Многочлен, в котором каждый член записан в стандартном виде, и все подобные члены уже сложены (приведены).
- Подобные члены
- Одночлены с одинаковой буквенной частью. Например, 7x³ и -3x³ — подобные.
- Степень многочлена
- Наибольшая из степеней всех членов многочлена. Например, у многочлена 2x³ + x² - 1 степень равна 3.
Ключевые факты и правила
- Чтобы привести многочлен к стандартному виду, нужно: 1) записать каждый одночлен в стандартном виде; 2) найти и сложить подобные члены.
- При сложении подобных членов складываются только коэффициенты, а буквенная часть остаётся прежней.
- Степень одночлена — сумма показателей всех переменных. Например, 3x²y³ имеет степень 2+3=5.
- Свободный член — это член без переменной, его степень считается равной 0.
- Многочлен, состоящий из двух членов, называется двучленом, из трёх — трёхчленом.
- Если в многочлене есть член с нулевым коэффициентом, его можно опустить.
Теория
Понять, что такое одночлен и его стандартный вид.
Осознать, что многочлен — это сумма одночленов.
Научиться находить подобные члены (с одинаковой буквенной частью).
Приводить подобные члены, складывая их коэффициенты.
Записывать все члены в стандартном виде и упорядочивать их (обычно по убыванию степени).
Примеры
- Пример 1случай
Пример
Пояснение
- 5x² + 3x - 2 — это многочлен, где 5x², 3x и -2 — его члены
- Пример 2расчёт
Пример
Решение
- 2a²b + 4a²b = 6a²b — приведение подобных членов
- Пример 3расчёт
Пример
Решение
- 3x + 2x² - x + 5 = 2x² + 2x + 5 — стандартный вид многочлена
- Пример 4случай
Пример
Пояснение
- 7 — это одночлен, а также многочлен, состоящий из одного члена (свободный член)
Интересно знать
- Слово «многочлен» происходит от греческого «полином» (poly — много, nomos — часть).
- Многочлены используются в компьютерной графике для описания кривых линий, например, кривых Безье.
- В древности математики решали уравнения, которые сводились к многочленам, ещё до появления буквенной алгебры.
Связанные темы
- Одночлены и их стандартный вид
- Сложение и вычитание многочленов
- Умножение одночлена на многочлен
- Умножение многочлена на многочлен