Орбита

Меню

гость

Войти
← К списку тем

Алгебра · 7 класс · Алгебра ФГОС · урок 17 · только теория

Сложение и вычитание многочленов

Многочлены — это суммы одночленов, и их можно складывать и вычитать, как числа. Главное — правильно приводить подобные слагаемые и следить за знаками при раскрытии скобок. Эта тема — первый шаг к работе с алгебраическими выражениями, которые встречаются повсюду: от физики до экономики.

Чему учимся понимать

Научиться правильно складывать и вычитать многочлены, приводя подобные слагаемые и аккуратно раскрывая скобки.

Зачем это нужно

Умение складывать и вычитать многочлены — это база для решения уравнений, упрощения формул и работы с функциями. Без этого невозможно представить ни один раздел алгебры, а также многие задачи из физики, химии и экономики, где используются математические модели.

Опорные понятия

МногочленОдночленПодобные слагаемыеПриведение подобных слагаемыхРаскрытие скобокСтандартный вид многочленаСтепень многочленаПравило сложения многочленовПравило вычитания многочленов

Главные тезисы

  • Многочлен — это сумма одночленов, где каждый одночлен — это произведение числа и переменных в натуральных степенях.
  • Складывать и вычитать можно только подобные слагаемые — те, у которых одинаковая буквенная часть.
  • Чтобы сложить многочлены, нужно раскрыть скобки (если они есть) и привести подобные слагаемые.
  • Чтобы вычесть многочлены, нужно раскрыть скобки, изменив знак каждого слагаемого второго многочлена на противоположный, а затем привести подобные.
  • Результат сложения или вычитания многочленов — всегда многочлен (или одночлен, как частный случай).
  • Многочлен записывают в стандартном виде: сначала слагаемые с большей степенью, затем по убыванию, и в конце — свободный член (число).
  • Степень многочлена — это наибольшая из степеней его одночленов (после приведения подобных).

Определения

Многочлен
Выражение, которое является суммой нескольких одночленов. Например, 3x² + 2x − 5 — это многочлен.
Одночлен
Произведение числа, переменных и их степеней. Например, 5x²y — одночлен.
Подобные слагаемые
Одночлены с одинаковой буквенной частью. Например, 3x² и −7x² — подобные, а 3x² и 3x — нет.
Приведение подобных слагаемых
Сложение коэффициентов подобных слагаемых с сохранением буквенной части. Например, 3x² + 5x² = 8x².
Стандартный вид многочлена
Запись многочлена, в которой все подобные слагаемые уже приведены, а слагаемые расположены по убыванию степеней.
Степень многочлена
Наибольшая степень одночлена, входящего в многочлен (после приведения подобных). Например, у многочлена 4x³ + x² − 1 степень равна 3.

Ключевые факты и правила

  • Правило сложения многочленов: чтобы сложить два многочлена, нужно записать их сумму, раскрыть скобки (если они есть) и привести подобные слагаемые. Например, (2x + 3) + (4x − 1) = 6x + 2.
  • Правило вычитания многочленов: чтобы вычесть из одного многочлена другой, нужно из первого многочлена вычесть каждый член второго, то есть изменить знаки всех членов второго многочлена на противоположные. Например, (5x² + 2x) − (3x² − x) = 5x² + 2x − 3x² + x = 2x² + 3x.
  • Подобные слагаемые можно складывать и вычитать, только если у них одинаковая буквенная часть (переменные и их степени). Числа (свободные члены) тоже считаются подобными друг другу.
  • При вычитании многочленов знак минус перед скобкой меняет знаки всех слагаемых внутри: −(a + b) = −a − b.
  • Сложение и вычитание многочленов подчиняются переместительному и сочетательному законам: A + B = B + A, (A + B) + C = A + (B + C).
  • Если перед скобкой стоит знак «+», то скобки можно просто убрать, не меняя знаки слагаемых.

Теория

Шаг 1. Пойми, что такое многочлен: это сумма одночленов. Одночлены — это «кирпичики», из которых строится многочлен.

Шаг 2. Научись находить подобные слагаемые: они должны иметь одинаковую буквенную часть (например, 4x² и −x²). Числа без переменных — тоже подобны друг другу.

Шаг 3. Освой приведение подобных: складывай или вычитай только коэффициенты, а буквенную часть оставляй без изменений.

Шаг 4. При сложении многочленов просто объединяй их в один многочлен и приводи подобные. Скобки можно убрать, если перед ними стоит «+».

Шаг 5. При вычитании многочленов обязательно меняй знаки всех слагаемых второго многочлена на противоположные, а затем приводи подобные.

Шаг 6. Записывай результат в стандартном виде: сначала члены с большей степенью, потом по убыванию, в конце — свободный член.

Примеры

  1. Пример 1расчёт
    • Если у тебя есть 3 яблока и 2 яблока
    • то вместе будет 5 яблок. Так и с подобными слагаемыми: 3a + 2a = 5a
  2. Пример 2расчёт

    Представь, что у тебя есть два мешка с монетами

    Решение

    • в одном 2x + 5 монет, в другом 3x − 2 монеты
    • Если их объединить, получится (2x + 5) + (3x − 2) = 5x + 3 монеты
  3. Пример 3расчёт
    • Если из первого мешка (5x² + 3x) вычесть второй (2x² + x)
    • то это всё равно что взять первый мешок и добавить к нему «отрицательный» второй: (5x² + 3x) − (2x² + x) = 5x² + 3x − 2x² − x = 3x² + 2x
  4. Пример 4случай
    • В физике, когда складывают силы, действующие на тело, используют те же правила: если одна сила 3F, а другая −2F, то суммарная сила F
    • Это и есть сложение многочленов (в данном случае одночленов)

Интересно знать

  • Многочлены используются в компьютерной графике для описания кривых, например, кривых Безье, которые рисуют буквы в шрифтах и формы в дизайне.
  • Слово «многочлен» происходит от греческого «поли» (много) и латинского «номен» (имя). В математике многочлены также называют полиномами.
  • Складывать и вычитать многочлены умели ещё в Древнем Вавилоне около 4000 лет назад, но тогда это делали словами, а не символами.

Связанные темы

  • Одночлены и многочлены (урок 6)
  • Умножение одночлена на многочлен (урок 8)
  • Вынесение общего множителя за скобки (урок 9)
  • Уравнения с многочленами (урок 10)