Умножение одночлена на многочлен

Научиться умножать одночлен на каждый член многочлена и правильно складывать результаты.

Это умение нужно для упрощения выражений, решения уравнений, а также для понимания более сложных тем, таких как разложение на множители и умножение многочленов.

• Умножение одночлена на многочлен — это применение распределительного свойства умножения относительно сложения.
• Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить.
• При умножении одночленов перемножаются их коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями.
• Результат умножения одночлена на многочлен всегда является многочленом.
• Правило работает и для вычитания: a(b - c) = ab - ac.
• После умножения важно привести подобные слагаемые, если они появились.
• Умножение одночлена на многочлен — основа для умножения многочлена на многочлен.

Одночлен

Выражение, которое является произведением чисел, переменных и их степеней. Например, 3x²y.

Многочлен

Сумма нескольких одночленов. Например, 2x³ - 5x + 1.

Распределительное свойство умножения

Правило, которое позволяет умножить число на сумму: a(b + c) = ab + ac.

Коэффициент

Числовой множитель в одночлене. Например, в одночлене -4x² коэффициент равен -4.

Подобные слагаемые

Слагаемые с одинаковой буквенной частью. Например, 3x и -5x — подобные.

• Правило умножения: a(b + c) = ab + ac.
• При умножении одночленов: коэффициенты перемножаются, а показатели степеней одинаковых переменных складываются.
• Знак минус перед одночленом меняет знаки всех членов многочлена при умножении.
• Если одночлен равен нулю, то произведение равно нулю.
• Степень полученного многочлена равна сумме степеней одночлена и наибольшей степени члена многочлена.
• Умножение одночлена на многочлен можно выполнять в столбик, как умножение чисел.

1. Пример 1расчёт

   Упростить выражение

   Решение

   • 3x(2x + 5) = 3x · 2x + 3x · 5 = 6x² + 15x
2. Пример 2расчёт

   Вычислить в уме

   Решение

   • 6 × 102 = 6 × 100 + 6 × 2 = 612
3. Пример 3расчёт

   Раскрыть скобки

   Решение

   • -2a(3a² - 4b) = -6a³ + 8ab

• Распределительное свойство использовали ещё древние вавилоняне для вычислений, не зная алгебры.
• Это правило помогает быстро считать в уме: например, 7 × 103 = 7 × 100 + 7 × 3 = 721.

• Умножение многочлена на многочлен
• Разложение многочлена на множители