Алгебра · 7 класс · Алгебра ФГОС · урок 10 · только теория
Формулы сокращённого умножения
Формулы сокращённого умножения — это готовые правила, которые позволяют быстро перемножать и раскладывать на множители выражения, не выполняя долгие вычисления. Они экономят время и помогают решать уравнения, упрощать выражения и даже считать в уме.
Чему учимся понимать
Научиться понимать и применять основные формулы сокращённого умножения для преобразования алгебраических выражений.
Зачем это нужно
Эти формулы — как «шпаргалки» для алгебры: они ускоряют вычисления, упрощают сложные выражения и лежат в основе решения уравнений и задач в старших классах. В жизни помогают быстро прикидывать результаты, например, площадь участка или стоимость покупки со скидкой.
Опорные понятия
Главные тезисы
- Формулы сокращённого умножения — это тождества, которые выполняются для любых значений переменных.
- Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого плюс удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго.
- Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого минус удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго.
- Разность квадратов двух выражений равна произведению их разности и их суммы.
- Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности.
- Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы.
- Куб суммы двух выражений равен кубу первого плюс утроенное произведение квадрата первого на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго плюс куб второго.
- Куб разности двух выражений равен кубу первого минус утроенное произведение квадрата первого на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго минус куб второго.
Определения
- Формулы сокращённого умножения
- Готовые правила для быстрого умножения и разложения на множители выражений, которые часто встречаются в алгебре.
- Квадрат суммы
- Результат умножения выражения (a + b) на само себя: (a + b)² = a² + 2ab + b².
- Квадрат разности
- Результат умножения выражения (a - b) на само себя: (a - b)² = a² - 2ab + b².
- Разность квадратов
- Выражение a² - b², которое можно представить как произведение (a - b)(a + b).
- Неполный квадрат разности
- Выражение a² - ab + b², которое получается при умножении (a + b) на (a² - ab + b²).
- Неполный квадрат суммы
- Выражение a² + ab + b², которое получается при умножении (a - b) на (a² + ab + b²).
Ключевые факты и правила
- Формула квадрата суммы: (a + b)² = a² + 2ab + b². Например, (x + 3)² = x² + 6x + 9.
- Формула квадрата разности: (a - b)² = a² - 2ab + b². Например, (5 - y)² = 25 - 10y + y².
- Формула разности квадратов: a² - b² = (a - b)(a + b). Например, x² - 16 = (x - 4)(x + 4).
- Формула суммы кубов: a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²). Например, 8 + y³ = (2 + y)(4 - 2y + y²).
- Формула разности кубов: a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²). Например, 27 - x³ = (3 - x)(9 + 3x + x²).
- Формула куба суммы: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³. Например, (m + 2)³ = m³ + 6m² + 12m + 8.
- Формула куба разности: (a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³. Например, (1 - n)³ = 1 - 3n + 3n² - n³.
- Формулы работают в обе стороны: можно раскрывать скобки (умножать) и сворачивать выражение (раскладывать на множители).
Теория
Пойми, что формулы сокращённого умножения — это просто запись умножения многочлена на самого себя или на другой многочлен, но в сокращённом виде.
Выучи базовые формулы: квадрат суммы, квадрат разности, разность квадратов — они самые частые.
Научись видеть в выражении структуру: например, x² - 9 — это разность квадратов, где a = x, b = 3.
Потренируйся применять формулы в обе стороны: раскрывать скобки (умножать) и сворачивать (раскладывать на множители).
Для кубов запомни связь с квадратами: куб суммы — это (a + b)³, который можно получить умножением (a + b)² на (a + b).
Примеры
- Пример 1расчёт
Вычисление площади
Решение
- если сторона квадрата увеличена на 2 метра, то новая площадь (a + 2)² = a² + 4a + 4 — формула помогает быстро посчитать, на сколько выросла площадь
- Пример 2расчёт
В строительстве
Решение
- при расчёте плитки для пола, если длина комнаты (x + 1) м, а ширина (x - 1) м, то площадь (x + 1)(x - 1) = x² - 1 — удобно, если x известно
- Пример 3случай
В финансах
Пояснение
- при расчёте сложного процента, когда вклад увеличивается на p% два года подряд, итоговая сумма связана с квадратом суммы: (1 + p/100)²
- Пример 4расчёт
В геометрии
Решение
- теорема Пифагора для прямоугольного треугольника с катетами a и b даёт гипотенузу c = √(a² + b²), а если катеты равны (a + b) и (a - b), то квадрат гипотенузы равен 2(a² + b²) — это можно вывести через формулы
Интересно знать
- Формулы сокращённого умножения были известны ещё древнегреческим математикам, например, Евклиду, который использовал их для геометрических доказательств.
- С помощью формулы разности квадратов можно быстро умножать числа в уме: например, 97 × 103 = (100 - 3)(100 + 3) = 100² - 3² = 10000 - 9 = 9991.
- Эти формулы помогают в физике: например, при расчёте кинетической энергии (mv²/2) или в теории относительности, где встречаются выражения вида (a + b)².
Связанные темы
- Умножение многочленов
- Разложение многочленов на множители
- Преобразование выражений
- Решение уравнений