Алгебра · 7 класс · Алгебра ФГОС · урок 11 · только теория
Разложение на множители
Разложение на множители — это способ превратить сложное выражение в произведение более простых. Мы научимся видеть в выражениях общие множители, применять формулы сокращённого умножения и группировку, чтобы упрощать вычисления и решать уравнения.
Чему учимся понимать
Научиться представлять многочлен в виде произведения множителей разными способами и понимать, зачем это нужно.
Зачем это нужно
Разложение на множители упрощает вычисления, помогает решать уравнения и сокращать дроби. Оно используется в физике, экономике и даже в программировании, когда нужно упростить сложные формулы.
Опорные понятия
Главные тезисы
- Разложение на множители — это представление выражения в виде произведения двух или более множителей.
- Вынесение общего множителя за скобки — самый простой способ разложения, основанный на распределительном законе умножения.
- Формулы сокращённого умножения позволяют быстро раскладывать выражения, которые имеют вид квадрата суммы, квадрата разности или разности квадратов.
- Способ группировки применяется, когда в многочлене нет общего множителя для всех членов, но есть общие множители для групп слагаемых.
- Разложение на множители помогает решать уравнения вида произведение равно нулю: если произведение равно нулю, то хотя бы один из множителей равен нулю.
- Правильно выполненное разложение можно проверить умножением: произведение множителей должно дать исходное выражение.
Определения
- Разложение на множители
- Преобразование выражения в произведение более простых выражений (множителей).
- Общий множитель
- Одночлен или число, которое есть в каждом члене выражения и которое можно вынести за скобки.
- Группировка
- Способ разложения, при котором слагаемые объединяют в группы, чтобы в каждой группе можно было вынести общий множитель.
- Формулы сокращённого умножения
- Готовые формулы, которые позволяют быстро умножать или раскладывать выражения, например (a+b)² = a² + 2ab + b².
- Квадрат суммы
- Формула (a+b)² = a² + 2ab + b², которая помогает возвести сумму в квадрат или разложить трёхчлен.
- Разность квадратов
- Формула a² - b² = (a-b)(a+b), которая позволяет разложить разность квадратов в произведение.
Ключевые факты и правила
- Распределительный закон: a(b+c) = ab + ac. Он лежит в основе вынесения общего множителя.
- Формула квадрата суммы: (a+b)² = a² + 2ab + b².
- Формула квадрата разности: (a-b)² = a² - 2ab + b².
- Формула разности квадратов: a² - b² = (a-b)(a+b).
- Если произведение равно нулю, то хотя бы один из множителей равен нулю: если A·B = 0, то A=0 или B=0.
- Разложение на множители — это операция, обратная умножению многочленов.
Теория
Сначала ищем общий множитель для всех членов выражения. Если он есть, выносим его за скобки.
Если выражение похоже на формулу сокращённого умножения (квадрат суммы, квадрат разности, разность квадратов), применяем соответствующую формулу.
Если общих множителей нет, пробуем группировку: разбиваем слагаемые на группы так, чтобы в каждой группе можно было вынести общий множитель, а затем выносим общий множитель из получившихся групп.
Проверяем результат умножением: перемножаем множители и убеждаемся, что получается исходное выражение.
Примеры
- Пример 1расчёт
Вынесение общего множителя
Решение
- 6x + 9 = 3(2x + 3)
- Здесь общий множитель 3
- Пример 2расчёт
Разность квадратов
Решение
- 25 - x² = (5 - x)(5 + x)
- Пример 3расчёт
Квадрат суммы
Решение
- (x + 3)² = x² + 6x + 9
- Пример 4расчёт
Группировка
Решение
- x³ + x² + x + 1 = (x³ + x²) + (x + 1) = x²(x+1) + 1(x+1) = (x+1)(x²+1)
Интересно знать
- Формулы сокращённого умножения были известны ещё древнегреческим математикам, например Евклиду, который использовал их в геометрических задачах.
- Разложение на множители помогает быстро считать в уме: например, 99² = (100-1)² = 10000 - 200 + 1 = 9801.
- В криптографии разложение больших чисел на множители лежит в основе защиты данных в интернете.
Связанные темы
- Умножение многочленов
- Формулы сокращённого умножения
- Решение уравнений
- Сокращение алгебраических дробей