Линейное уравнение с одной переменной

Научиться понимать, что такое линейное уравнение, как его решать и почему у него может быть один, много или ни одного корня.

Умение решать линейные уравнения нужно не только на уроках алгебры, но и в жизни: например, чтобы рассчитать бюджет, время в пути, дозировку лекарств или количество материалов для ремонта. Это первый шаг к математическому моделированию реальных ситуаций.

• Линейное уравнение с одной переменной — это уравнение вида ax + b = 0, где a и b — числа, a ≠ 0.
• Корень уравнения — это значение переменной, при котором уравнение превращается в верное числовое равенство.
• Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что их нет.
• Уравнения, имеющие одинаковые корни, называются равносильными.
• При переносе слагаемого из одной части уравнения в другую знак меняется на противоположный.
• Обе части уравнения можно умножать или делить на одно и то же число, не равное нулю, — корни при этом не меняются.
• Линейное уравнение может иметь один корень, бесконечно много корней (если a = 0 и b = 0) или не иметь корней (если a = 0 и b ≠ 0).

Уравнение

Равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой (например, x).

Переменная

Буква, которая обозначает неизвестное число в уравнении.

Корень уравнения

Число, которое можно подставить вместо переменной, чтобы получить верное равенство.

Линейное уравнение

Уравнение вида ax + b = 0, где a и b — известные числа, a ≠ 0. После упрощения оно всегда приводится к такому виду.

Коэффициент

Число, на которое умножается переменная (в уравнении ax + b = 0 это число a).

Свободный член

Число без переменной (в уравнении ax + b = 0 это число b).

Равносильные уравнения

Уравнения, у которых одинаковые корни (или оба не имеют корней).

• Линейное уравнение в общем виде: ax + b = 0, где a ≠ 0. Решение: x = -b/a.
• Если a = 0 и b = 0, то уравнение имеет вид 0 = 0 — корней бесконечно много (любое число).
• Если a = 0 и b ≠ 0, то уравнение имеет вид 0 = b — корней нет.
• Перенос слагаемого из одной части уравнения в другую: знак меняется на противоположный (например, 2x + 3 = 7 → 2x = 7 - 3).
• Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же ненулевое число не меняет корней.
• Чтобы решить линейное уравнение, нужно: раскрыть скобки (если есть), перенести слагаемые с переменной в одну часть, без переменной — в другую, привести подобные, разделить обе части на коэффициент при переменной.

1. Пример 1расчёт

   Пример 1

   Решение

   • Уравнение 2x + 3 = 7
   • Переносим 3 вправо: 2x = 4, делим на 2: x = 2
   • Проверка: 2·2 + 3 = 7 — верно
2. Пример 2расчёт

   Пример 2

   Решение

   • Уравнение 5x - 10 = 0. Переносим -10: 5x = 10, x = 2. Корень — 2
3. Пример 3расчёт

   Пример 3

   Решение

   • Уравнение 0·x = 7
   • Нет такого числа, которое при умножении на 0 дало бы 7 — корней нет
4. Пример 4расчёт

   Пример 4

   Решение

   • Уравнение 0·x = 0
   • Любое число подходит — корней бесконечно много
5. Пример 5расчёт

   Пример 5

   Решение

   • В жизни: если 3 одинаковые тетради стоят 45 рублей, то уравнение 3x = 45, где x — цена одной тетради, даёт x = 15 рублей

• Слово «уравнение» происходит от латинского aequatio, что означает «равнение» — уравнивание двух величин.
• Линейные уравнения использовались ещё в Древнем Египте (в папирусе Ахмеса, около 1650 г. до н.э.) для решения задач о распределении хлеба и зерна.
• Уравнение 0·x = 5 не имеет решений, а 0·x = 0 имеет бесконечно много решений — это удивляет многих, но логично: любое число, умноженное на 0, даёт 0.

• Решение задач с помощью уравнений
• Линейные неравенства
• Системы линейных уравнений