Системы линейных уравнений

Научиться понимать, что такое система линейных уравнений, и освоить основные методы её решения (графический, подстановки, сложения).

Системы уравнений помогают решать задачи, где есть две неизвестные величины, связанные двумя условиями. Например, в экономике (расчёт цен и количества), физике (движение), повседневной жизни (смеси, покупки). Это основа для изучения более сложных математических моделей в старших классах.

• Система линейных уравнений — это два или более уравнения, которые рассматриваются вместе, и нужно найти значения переменных, удовлетворяющие всем уравнениям одновременно.
• Решением системы называется пара чисел (x; y), которая обращает каждое уравнение системы в верное равенство.
• Графический метод основан на том, что каждое линейное уравнение с двумя переменными задаёт прямую на координатной плоскости; точка пересечения прямых является решением системы.
• Метод подстановки заключается в выражении одной переменной через другую из одного уравнения и подстановке полученного выражения в другое уравнение.
• Метод сложения основан на сложении уравнений системы с целью исключения одной из переменных.
• Система может иметь единственное решение (прямые пересекаются), бесконечно много решений (прямые совпадают) или не иметь решений (прямые параллельны).
• При решении системы важно проверять полученную пару чисел подстановкой в оба исходных уравнения.

Система линейных уравнений

Два или более линейных уравнения, объединённых фигурной скобкой, для которых нужно найти общее решение.

Решение системы

Пара чисел (x; y), которая при подстановке в каждое уравнение системы превращает его в верное числовое равенство.

Коэффициенты

Числа, стоящие перед переменными в уравнении (например, в уравнении 2x + 3y = 7 коэффициенты — 2 и 3).

Свободный член

Число в уравнении, не умноженное на переменную (например, в уравнении 2x + 3y = 7 свободный член — 7).

Графический метод

Способ решения системы, при котором строят графики уравнений (прямые) и находят точку их пересечения.

Метод подстановки

Способ решения, при котором из одного уравнения выражают одну переменную через другую и подставляют это выражение в другое уравнение.

Метод сложения

Способ решения, при котором уравнения складывают (или вычитают) так, чтобы одна из переменных исчезла.

• Каждое линейное уравнение с двумя переменными вида ax + by = c задаёт прямую линию на координатной плоскости.
• Если прямые пересекаются в одной точке, то система имеет единственное решение — координаты этой точки.
• Если прямые параллельны, то система не имеет решений (она несовместна).
• Если прямые совпадают, то система имеет бесконечно много решений (каждая точка прямой является решением).
• В методе подстановки после нахождения одной переменной, её значение подставляют в выражение для другой переменной, чтобы найти вторую.
• В методе сложения иногда нужно умножить одно или оба уравнения на число, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными.
• Проверка решения обязательна: подставьте найденную пару чисел в оба исходных уравнения — должны получиться верные равенства.

1. Пример 1расчёт

   Задача

   Решение

   • Купили 3 ручки и 2 карандаша за 110 рублей, а 2 ручки и 3 карандаша — за 90 рублей
   • Сколько стоит ручка и карандаш? Система: 3x + 2y = 110, 2x + 3y = 90
   • Решая её, находим x = 30 (ручка), y = 10 (карандаш)
2. Пример 2расчёт

   Графический метод

   Решение

   • система x + y = 5 и x - y = 1. Прямые пересекаются в точке (3
   • 2), значит, решение — пара (3
   • 2)
3. Пример 3расчёт

   Метод подстановки

   Решение

   • в системе y = 2x + 1 и x + y = 7 подставляем y из первого уравнения во второе: x + (2x + 1) = 7, получаем 3x = 6, x = 2, затем y = 5
4. Пример 4расчёт

   Метод сложения

   Решение

   • система 2x + 3y = 8 и 2x - y = 0
   • Вычитаем из первого второе: 4y = 8, y = 2, подставляем в любое уравнение, находим x = 1

• Системы уравнений использовались ещё в древнем Вавилоне (около 2000 лет до н.э.) для решения задач о распределении зерна и скота.
• Графический метод решения систем стал возможен после изобретения координатной плоскости Рене Декартом в XVII веке.
• В экономике системы линейных уравнений применяются для расчёта равновесных цен на рынке, где спрос и предложение описываются линейными зависимостями.

• Линейные уравнения с одной переменной
• Графики линейных функций
• Решение задач с помощью уравнений