Способ подстановки

Научиться решать системы линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки.

Системы уравнений встречаются в самых разных областях: от планирования бюджета и приготовления блюд по рецепту до расчёта скорости движения и решения задач по физике и экономике. Способ подстановки — это универсальный инструмент, который помогает находить неизвестные значения, когда они связаны между собой несколькими условиями.

• Способ подстановки основан на том, что если два уравнения имеют общее решение, то можно заменить одну переменную её выражением из другого уравнения.
• Цель способа подстановки — свести систему двух уравнений с двумя переменными к одному уравнению с одной переменной.
• После нахождения одной переменной, её значение подставляется в одно из исходных уравнений для нахождения второй переменной.
• Решение системы — это пара чисел (x; y), которая обращает оба уравнения в верные равенства.
• Способ подстановки особенно удобен, когда хотя бы в одном уравнении коэффициент при переменной равен 1 или -1.
• При использовании способа подстановки важно аккуратно выполнять алгебраические преобразования, чтобы не потерять корни или не получить посторонние решения.

Система уравнений

Два или более уравнения, которые рассматриваются вместе, и нужно найти значения переменных, удовлетворяющие всем уравнениям одновременно.

Решение системы уравнений

Пара чисел (x; y), при подстановке которых в каждое уравнение системы получаются верные числовые равенства.

Линейное уравнение с двумя переменными

Уравнение вида ax + by = c, где a, b, c — числа, а x и y — переменные. Графиком такого уравнения является прямая.

Выражение одной переменной через другую

Преобразование уравнения к виду, когда одна переменная выражена через другую, например, x = 5 - 2y.

Подстановка

Замена переменной в одном уравнении её выражением из другого уравнения.

Равносильные системы

Системы, которые имеют одни и те же решения. Способ подстановки приводит к равносильной системе.

• Алгоритм способа подстановки: 1) выразить одну переменную через другую из любого уравнения; 2) подставить полученное выражение в другое уравнение; 3) решить полученное уравнение с одной переменной; 4) найти значение второй переменной; 5) записать ответ в виде пары чисел (x; y).
• Если после подстановки получается уравнение вида 0 = 0, то система имеет бесконечно много решений (уравнения зависимы).
• Если после подстановки получается неверное равенство, например, 0 = 5, то система не имеет решений (уравнения противоречивы).
• Способ подстановки можно применять для решения систем, где уравнения не являются линейными, но в 7 классе он рассматривается именно для линейных систем.
• При выражении переменной важно следить за знаками: переносимые члены меняют знак на противоположный.

1. Пример 1случай

   Пример из жизни

   Пояснение

   • вы покупаете 3 ручки и 2 тетради, платите 120 рублей
   • Другой покупатель покупает 2 ручки и 1 тетрадь, платит 80 рублей
   • Сколько стоит ручка и тетрадь? Это как раз система уравнений, которую можно решить способом подстановки
2. Пример 2случай

   Пример из физики

   Пояснение

   • если два автомобиля выехали навстречу друг другу из разных городов, и известны их скорости и время встречи, можно составить систему уравнений для нахождения расстояния между городами
3. Пример 3случай

   Пример из кулинарии

   Пояснение

   • для приготовления теста по рецепту нужно смешать муку и сахар в определённой пропорции
   • Если известно общее количество смеси и соотношение, можно составить систему уравнений

• Способ подстановки — один из древнейших методов решения систем уравнений. Его использовали ещё в Древнем Вавилоне и Китае более 4000 лет назад.
• Системы уравнений помогают в криптографии: например, для взлома некоторых шифров нужно решать системы уравнений с большим количеством неизвестных.
• В экономике системы уравнений используются для расчёта равновесной цены и объёма продаж на рынке.

• Линейные уравнения с одной переменной
• Графический способ решения систем уравнений
• Способ сложения
• Решение задач с помощью систем уравнений