Функция. Область определения и значений

Научиться понимать, что такое функция, и находить область определения и область значений функции по её формуле или графику.

Функции описывают зависимости в природе, экономике, технике: от скорости движения до изменения температуры. Понимание области определения и значений помогает правильно использовать формулы и избегать ошибок (например, деления на ноль).

• Функция — это правило, по которому каждому значению одной переменной (аргументу) ставится в соответствие единственное значение другой переменной (зависимой).
• Область определения — это все значения, которые может принимать аргумент (x).
• Область значений — это все значения, которые может принимать зависимая переменная (y).
• Функцию можно задать формулой, таблицей, графиком или словесным описанием.
• График функции — это множество точек на координатной плоскости, где x — аргумент, а y — значение функции.
• Чтобы найти область определения, нужно исключить значения, при которых выражение не имеет смысла (например, деление на ноль).
• Область значений часто определяется по графику или анализу формулы.

Функция

Правило, по которому каждому значению одной переменной (x) соответствует ровно одно значение другой переменной (y).

Аргумент

Независимая переменная (обычно x), значения которой мы выбираем.

Зависимая переменная

Переменная (обычно y), значение которой зависит от выбранного аргумента.

Область определения

Все допустимые значения аргумента (x), при которых функция имеет смысл.

Область значений

Все значения, которые может принимать зависимая переменная (y) при допустимых x.

График функции

Множество всех точек (x; y), где x — аргумент, а y — соответствующее значение функции.

• Функция обозначается как y = f(x), где f — правило, x — аргумент, y — значение функции.
• Область определения обозначается D(f), область значений — E(f).
• Если функция задана формулой, область определения — все числа, кроме тех, при которых знаменатель равен нулю или подкоренное выражение отрицательно (для квадратного корня).
• Для линейной функции y = kx + b область определения и область значений — все действительные числа.
• Для функции y = 1/x область определения — все числа, кроме 0; область значений — все числа, кроме 0.
• График функции пересекает ось y в точке, где x = 0 (если 0 входит в область определения).

1. Пример 1расчёт

   Пример 1

   Решение

   • Автомобиль едет со скоростью 60 км/ч
   • Пройденный путь S зависит от времени t: S = 60t
   • Здесь t — аргумент, S — функция
   • Область определения: t ≥ 0 (время не может быть отрицательным)
2. Пример 2расчёт

   Пример 2

   Решение

   • Площадь квадрата зависит от длины его стороны: S = a²
   • Область определения: a > 0 (сторона не может быть нулевой или отрицательной)
3. Пример 3случай

   Пример 3

   Пояснение

   • Температура воздуха в течение дня — функция от времени: каждому моменту времени соответствует одна температура
4. Пример 4расчёт

   Пример 4

   Решение

   • Функция y = 1/x
   • Если x = 0, то выражение не имеет смысла (делить на ноль нельзя), поэтому 0 исключается из области определения

• Слово «функция» ввёл немецкий математик Готфрид Лейбниц в конце XVII века.
• В биологии функция описывает, например, зависимость роста растения от количества света — это тоже функция!

• Линейная функция и её график
• Прямая пропорциональность
• Координатная плоскость