Алгебра · 7 класс · Алгебра ФГОС · урок 18 · только теория
Линейная функция и её график
Линейная функция — это самая простая и важная зависимость между величинами, где изменение одной величины вызывает пропорциональное изменение другой. Её график — прямая линия, которая пронизывает всю математику и реальный мир: от расчёта стоимости поездки до предсказания движения.
Чему учимся понимать
Научиться понимать, как выглядит линейная функция, как строить её график и что означают коэффициенты в её формуле.
Зачем это нужно
Линейные функции описывают множество реальных процессов: равномерное движение, тарифы на связь, рост растений, изменение температуры. Умение строить и читать графики помогает анализировать и прогнозировать эти процессы.
Опорные понятия
Главные тезисы
- Линейная функция — это функция вида y = kx + b, где k и b — некоторые числа.
- Графиком линейной функции является прямая линия.
- Коэффициент k определяет наклон прямой: если k > 0, функция возрастает, если k < 0 — убывает.
- Коэффициент b показывает, в какой точке график пересекает ось OY.
- Если b = 0, то функция называется прямой пропорциональностью, и её график проходит через начало координат.
- Для построения графика линейной функции достаточно знать координаты двух её точек.
- Угловой коэффициент k равен тангенсу угла наклона прямой к положительному направлению оси OX.
Определения
- Линейная функция
- Функция, которую можно задать формулой y = kx + b, где x — независимая переменная, а k и b — числа.
- График функции
- Множество всех точек координатной плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению функции.
- Угловой коэффициент (k)
- Число, которое показывает, насколько быстро растёт или убывает функция при изменении x. Если k > 0, функция возрастает, если k < 0 — убывает.
- Свободный член (b)
- Число, которое показывает, в какой точке график пересекает ось OY (ордината точки пересечения).
- Прямая пропорциональность
- Частный случай линейной функции, когда b = 0, то есть y = kx. График всегда проходит через начало координат.
Ключевые факты и правила
- График линейной функции — прямая линия, поэтому для её построения достаточно двух точек.
- Если k > 0, прямая наклонена вправо (возрастает); если k < 0 — влево (убывает).
- Если k = 0, функция имеет вид y = b, и её график — горизонтальная прямая, параллельная оси OX.
- Точка пересечения с осью OY имеет координаты (0; b).
- Точка пересечения с осью OX находится из уравнения kx + b = 0, то есть x = -b/k (при k ≠ 0).
- Графики двух линейных функций параллельны, если их угловые коэффициенты равны (k₁ = k₂).
Теория
Понять, что линейная функция — это правило, по которому каждому значению x ставится в соответствие значение y = kx + b.
Осознать, что график — это прямая, и для её построения достаточно найти две точки, подставив любые два значения x.
Научиться определять по формуле, возрастает или убывает функция (по знаку k), и где она пересекает оси (по b и решению уравнения kx + b = 0).
Связать коэффициенты с геометрическим видом прямой: k — наклон, b — сдвиг вверх/вниз.
Примеры
- Пример 1расчёт
Стоимость поездки на такси
Решение
- C = 100 + 20 × км, где 100 — начальная цена, 20 — цена за километр. График — прямая, начинающаяся в точке (0
- 100)
- Пример 2расчёт
Рост растения
Решение
- если каждый день оно вырастает на 2 см, то высота h = 2t, где t — число дней
- Это прямая пропорциональность, график проходит через начало координат
- Пример 3расчёт
Температура воздуха меняется на 3°C каждый час
Решение
- T = 15 + 3t, где t — время в часах
- График — прямая, пересекающая ось OY в точке 15
Интересно знать
- Слово «линейная» происходит от латинского «linea» — линия, потому что график всегда прямая.
- В физике равномерное движение описывается линейной функцией: путь = скорость × время (s = vt).
- Если наклонить трубу под разным углом, вода будет течь с разной скоростью — это тоже линейная зависимость!
Связанные темы
- Функция и её график (урок 17)
- Прямая пропорциональность (урок 19)
- Системы линейных уравнений (урок 23)