Повторение и контроль

Научиться видеть целостную картину алгебраических знаний и понимать, как разные темы связаны между собой.

Повторение — это не зубрёжка, а способ укрепить фундамент для будущих тем. Если мы хорошо понимаем основы, нам легче изучать новые, более сложные вещи. В жизни это умение систематизировать информацию и видеть общее в разных задачах, что помогает принимать верные решения.

• Алгебра изучает не просто числа, а закономерности, которые описываются выражениями с переменными.
• Алгебраическое выражение имеет смысл только при допустимых значениях переменных, когда все действия выполнимы.
• Уравнение — это равенство, которое верно только при некоторых значениях переменной, называемых корнями.
• Линейное уравнение с одной переменной — это простейший вид уравнения, который решается по стандартному алгоритму.
• Координатная плоскость — это способ перевести алгебраический язык на язык геометрический, что позволяет видеть решения наглядно.
• Математическая модель — это описание реальной ситуации на языке алгебры, которое помогает решать практические задачи.
• Повторение — это не просто пересказ, а установление связей между понятиями, что делает знания прочными и осознанными.

Числовое выражение

Запись, состоящая из чисел, знаков действий и скобок, значение которой можно вычислить.

Алгебраическое выражение

Выражение, в котором кроме чисел и знаков действий есть буквы (переменные).

Переменная

Буква, вместо которой можно подставлять разные числа.

Допустимые значения переменной

Те числа, которые можно подставить в выражение, чтобы все действия в нём можно было выполнить.

Уравнение

Равенство, которое содержит неизвестное число, обозначенное буквой, и которое нужно найти.

Корень уравнения

Число, при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство.

Линейное уравнение

Уравнение вида ax + b = 0, где a и b — известные числа, а x — неизвестное.

Координатная плоскость

Плоскость, на которой заданы две перпендикулярные оси с общим началом отсчёта, позволяющая задавать положение точек парами чисел.

• Чтобы найти значение алгебраического выражения, нужно подставить вместо букв их числовые значения и выполнить действия по правилам порядка действий.
• Нельзя делить на ноль, поэтому значения переменной, при которых знаменатель дроби равен нулю, являются недопустимыми.
• Уравнение ax + b = 0 решается так: переносим b в правую часть с противоположным знаком (ax = -b), затем делим обе части на a (x = -b/a), при условии, что a ≠ 0.
• Если a = 0 и b = 0, то уравнение 0·x = 0 имеет бесконечно много корней (любое число). Если a = 0 и b ≠ 0, то уравнение 0·x = b не имеет корней.
• Координатная плоскость строится с помощью двух взаимно перпендикулярных осей: горизонтальной (ось абсцисс, x) и вертикальной (ось ординат, y). Точка задаётся парой чисел (x; y).
• График линейного уравнения с двумя переменными ax + by = c — это прямая линия.
• Математическая модель задачи включает в себя: обозначение неизвестной величины, составление уравнения по условию, решение уравнения и проверку соответствия ответа условию задачи.

1. Пример 1расчёт

   Числовое выражение

   Решение

   • (5 + 3) · 2 = 16
   • Алгебраическое выражение: 2a + 3, где a — переменная
   • Если a = 4, то значение выражения равно 11
2. Пример 2расчёт
   • Выражение 1/(x - 2) имеет смысл при всех x
   • кроме x = 2, потому что на ноль делить нельзя
3. Пример 3случай
   • Уравнение 3x - 6 = 0
   • Переносим -6 вправо: 3x = 6
   • Делим на 3: x = 2
   • Проверка: 3·2 - 6 = 0, верно
   • Значит, 2 — корень уравнения
4. Пример 4случай
   • На координатной плоскости точка A(3
   • -2) находится на 3 единицы вправо от начала координат по оси x и на 2 единицы вниз по оси y
5. Пример 5расчёт

   Задача

   Решение

   • «Купили 5 тетрадей по цене x рублей и ручку за 20 рублей
   • Сколько заплатили?» Математическая модель: 5x + 20
   • Если x = 10, то заплатили 70 рублей

• Слово «алгебра» происходит от названия книги среднеазиатского учёного аль-Хорезми «Китаб аль-джебр валь-мукабала», где описывались правила решения уравнений.
• Координатную плоскость придумал французский математик Рене Декарт, когда, по легенде, смотрел на муху, ползающую по потолку, и придумал, как описать её положение.
• Уравнения умели решать ещё в Древнем Египте и Вавилоне, но они записывали их словами, а не символами, как мы сейчас.

• Числовые и алгебраические выражения
• Уравнения с одной переменной
• Координатная плоскость
• Линейные уравнения с двумя переменными