Решение задач с помощью систем уравнений. Практикум

Повторить раздел и уверенно решать типовые задания с проверкой.

Алгебра позволяет одной формулой описать много ситуаций — от периметра до процентов и графиков — и не пересчитывать всё с нуля.

• Что сделали с одной частью, то же — с другой (кроме умножения/деления на 0).
• Посторонние корни появляются при умножении на выражение, которое может быть нулём.
• Потеря корней — при делении на выражение с неизвестным.
• Квадратное уравнение всегда можно привести к виду a ≠ 0.
• Проверка подстановкой обязательна для дробных и иррациональных уравнений.

Уравнение

Равенство с неизвестным, которое требуется найти.

Корень

Число, при подстановке которого получается верное равенство.

Дискриминант

D = b² − 4ac для ax² + bx + c = 0; по знаку D судят о числе действительных корней.

Равносильные уравнения

Уравнения с одним и тем же множеством корней.

• Корень уравнения — значение неизвестного, при котором равенство верно.
• Линейное ax + b = 0 (a ≠ 0) имеет один корень x = −b/a.
• Квадратное ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0): D = b² − 4ac; при D > 0 два корня, D = 0 — один (кратный), D < 0 — нет действительных.
• Теорема Виета: x₁ + x₂ = −b/a, x₁x₂ = c/a.

1. Пример 1случай
   • 2x − 6 = 0 ⇒ x = 3
2. Пример 2случай
   • x² − 5x + 6 = 0 ⇒ (x − 2)(x − 3) = 0 ⇒ x = 2 или x = 3
3. Пример 3случай
   • x² = 9 ⇒ x = 3 или x = −3

• Формулу корней квадратного уравнения знали в Древнем Вавилоне в геометрическом виде.

• Опорные формулы раздела
• Типовые ошибки