Рациональные выражения

Отличать целое выражение от дробного и находить ОДЗ: знаменатель не равен нулю.

Если подставить запрещённое число, выражение «ломается»: делить на ноль нельзя. ОДЗ — это список разрешённых чисел.

• Целое выражение: сложение, вычитание, умножение и деление только на число, не на букву.
• Дробное выражение содержит деление на выражение с переменной.
• ОДЗ — все значения переменной, при которых знаменатели не обращаются в ноль.

Целое выражение

Составлено из чисел и переменных сложением, вычитанием, умножением и делением на число, отличное от нуля. Нет деления на букву.

Дробное выражение

Содержит деление на выражение с переменными. Пример: 4/x, (a+b)/(a−3).

ОДЗ

Область допустимых значений: все числа, при которых выражение имеет смысл. Для дроби — знаменатель ≠ 0.

• Целые выражения — сложение, вычитание, умножение и деление только на число ≠ 0. Дробные — есть деление на выражение с переменной. И те и другие называют рациональными. Рациональная дробь — дробь, числитель и знаменатель которой многочлены.
• Дробная черта — это деление. Поэтому знаменатель не может быть равен нулю.
• Целое выражение имеет смысл при любых значениях переменных.
• Если в знаменателе произведение, оно равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю. Эти значения вычёркиваем из ОДЗ.
• Рациональная (алгебраическая) дробь — дробь, числитель и знаменатель которой многочлены.

1. Пример 1реакция

   учебник · пример 1

   Уравнения

   • \dfrac{5}{a(a-9)} → все числа, кроме 0 и 9
2. Пример 2реакция

   учебник · пример 2

   Уравнения

   • y=\dfrac{x+3}{x-7} → все числа, кроме 7
3. Пример 3реакция

   учебник · пример 3

   Уравнения

   • \dfrac{(x-2)^2-25}{x+3}=0 → $x=7$
4. Пример 4случай

   5a², 3x−y, (a+b)² — целые

   Пояснение

   • деления на букву нет
5. Пример 5случай

   4/x и (a+b)/(a−3)

   Пояснение

   • дробные
6. Пример 6случай

   5/x

   Пояснение

   • ОДЗ x ≠ 0
7. Пример 7случай

   (3x+1)/(x−2)

   Пояснение

   • x−2 ≠ 0 ⇒ x ≠ 2
8. Пример 8расчёт

   5/(x(x−4))

   Решение

   • произведение ноль при x=0 или x=4, ОДЗ x ≠ 0 и x ≠ 4

• Исаак Ньютон, чей портрет часто стоит рядом с этой темой в учебнике, как раз учил: сначала смотри, при каких значениях действие вообще можно выполнить.

• Сокращение дробей
• Основное свойство дроби