Сокращение дробей

Сокращать рациональные дроби: разложить на множители и зачеркнуть одинаковые.

Сокращённая дробь короче и проще для сложения и уравнений. Без сокращения легко ошибиться в знаках.

• Сокращать можно только множители, не слагаемые.
• Сначала формулы сокращённого умножения, потом зачёркивание.
• x−1 и 1−x — противоположные: 1−x = −(x−1).

Основное свойство дроби

Дробь не меняется, если числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же ненулевое выражение.

Сокращение

Деление числителя и знаменателя на общий множитель.

Общий множитель

Выражение, на которое делятся и верх, и низ. Только его можно зачеркнуть.

• Если числитель и знаменатель умножить на один и тот же ненулевой многочлен, получится равная дробь. Тождество — равенство, верное при всех допустимых значениях переменных.
• Нельзя сокращать слагаемые: (x+3)/x не равно 3.
• Разность квадратов: a²−b²=(a−b)(a+b). Квадрат разности: a²−2ab+b²=(a−b)².
• После сокращения ОДЗ исходной дроби не расширяем: вычёркнутый множитель по-прежнему не ноль.

1. Пример 1реакция

   учебник · пример 1

   Уравнения

   • \dfrac{2x}{7y}\ \to\ \text{знаменатель }35y^3 → $\dfrac{10xy^2}{35y^3}$
2. Пример 2реакция

   учебник · пример 3

   Уравнения

   • \dfrac{a^2-9}{ab+3b} → $\dfrac{a-3}{b}$
3. Пример 3реакция

   учебник · пример 4

   Уравнения

   • \dfrac{1-x}{x(1-x)} → $\dfrac{1}{x}$ при $x\neq 0$, $x\neq 1$
4. Пример 4случай
   • 15x/(25y)=3x/(5y)
5. Пример 5случай
   • (x²−9)/(x²−6x+9)=(x+3)/(x−3) после сокращения (x−3)
6. Пример 6случай
   • (x−1)/(x(1−x))=−1/x: внизу вынесли минус

• «Сократить» буквально значит «укоротить», но значение дроби остаётся тем же.

• Рациональные выражения
• Сложение дробей