Квадратный корень из степени

Усвоить тождество √(x²)=|x| и уметь снимать модуль по знаку переменной.

Без модуля легко написать √(x²)=x, и при x<0 это ложь: корень не бывает отрицательным.

• √(x²)=|x|, не просто x.
• При x≥0: |x|=x. При x<0: |x|=−x.
• √(a⁸)=a⁴, потому что a⁴≥0. √(a¹⁰)=|a⁵|.

Тождество √(x²)=|x|

Квадратный корень из квадрата числа равен модулю этого числа.

Модуль

|x| = x, если x≥0, и |x|=−x, если x<0. Всегда ≥ 0.

Снятие модуля

Замена |x| на x или −x по известному знаку x.

• При любом x верно √(x²) = |x|. Если x ≥ 0, корень равен x; если x < 0 — равен −x. Для чётной степени: представить как квадрат и снять модуль, когда выражение уже ≥ 0.
• √(5²)=√25=5=|5|.
• √((−6)²)=√36=6=|−6|.
• Если a<0, то √(a²)=−a (минус на минус даёт плюс).

1. Пример 1реакция

   учебник · п. 16

   Уравнения

   • \sqrt{x^2}\ \text{при }x=5\text{ и }x=-6 → $\sqrt{x^2}=|x|$
2. Пример 2реакция

   учебник · пример 1

   Уравнения

   • \sqrt{a^{16}} → $a^8$
3. Пример 3реакция

   учебник · пример 2

   Уравнения

   • \sqrt{x^{10}},\ x<0 → $-x^5$
4. Пример 4расчёт
   • √(5²)=5
   • √((−6)²)=6
5. Пример 5расчёт

   При a>0

   Решение

   • √(a²)=a. При a<0: √(a²)=−a
6. Пример 6расчёт
   • √(a⁸)=a⁴
   • √(a¹⁰)=|a⁵|

• Модуль на графике — «отражение» отрицательной части вверх; корень делает то же с квадратом.

• Арифметический корень
• Вынесение множителя