Квадратный трёхчлен и его корни

Раскладывать ax²+bx+c на множители через корни и сокращать дроби.

Разложение трёхчлена — мост к сокращению рациональных дробей и к следующему уроку (уравнения с дробями).

• Сначала корни, потом скобки.
• Не забываем множитель a перед скобками.
• Дробный корень 1/2 удобно спрятать: 2(x−1/2)=2x−1.

Квадратный трёхчлен

Многочлен ax²+bx+c, a≠0 (три члена, если b и c не нули).

Теорема о разложении

Если x₁, x₂ — корни, то ax²+bx+c=a(x−x₁)(x−x₂).

Корень трёхчлена

Число, при котором трёхчлен равен нулю; те же корни, что у уравнения.

• Квадратный трёхчлен ax²+bx+c. Если есть корни x₁, x₂, то ax²+bx+c = a(x−x₁)(x−x₂). Так раскладывают на множители и сокращают рациональные дроби.
• 2x²+7x−4: корни 0,5 и −4 → 2(x−0,5)(x+4)=(2x−1)(x+4).
• (3x+2)/(3x²−13x−10)=1/(x−5) после разложения знаменателя.
• Если D<0, на линейные множители над действительными не раскладываем.

1. Пример 1реакция

   учебник · п. 25

   Уравнения

   • 2x^2+7x-4 → $(2x-1)(x+4)$
2. Пример 2реакция
   • \dfrac{3x+2}{3x^2-13x-10} → $\dfrac{1}{x-5}$
3. Пример 3случай
   • 2x²+7x−4=(2x−1)(x+4)
4. Пример 4случай
   • Сокращение (3x+2)/(3x²−13x−10)=1/(x−5)

• Скобки (x−x₁)(x−x₂) — это «наоборот» теорема Виета: раскрыв, снова получим трёхчлен.