Дробные рациональные уравнения

Решать уравнения с дробями: найти ОДЗ, умножить на общий знаменатель, проверить корни.

Посторонний корень превращает знаменатель в ноль: уравнение «ломается». Проверка по ОДЗ обязательна.

• Сначала ОДЗ, не после «как получится».
• Умножение на знаменатель законно только на ОДЗ.
• Корень исходного уравнения не может обращать знаменатель в ноль.

Дробное рациональное уравнение

Уравнение, в котором переменная есть в знаменателе хотя бы одной дроби.

Посторонний корень

Число, которое получилось после упрощения, но не входит в ОДЗ исходного уравнения.

Проверка по ОДЗ

Отбрасывание корней, при которых хотя бы один знаменатель равен нулю.

• Переменная в знаменателе. Алгоритм: 1) ОДЗ; 2) умножить на общий знаменатель; 3) решить обычное уравнение; 4) отбросить корни вне ОДЗ (посторонние).
• Алгоритм из 4 шагов: ОДЗ, умножение, решение, проверка.
• Пример: (x−3)/(x−5)+1/x=(x+5)/(x(x−5)). ОДЗ: x≠0, x≠5. Корни 5 и −2; остаётся x=−2.
• x=5 обнуляет знаменатель — посторонний.

1. Пример 1реакция
   • \dfrac{5}{x}=1 → $x=5$
2. Пример 2реакция

   учебник · п. 26

   Уравнения

   • \dfrac{x-3}{x-5}+\dfrac{1}{x}=\dfrac{x+5}{x(x-5)} → $x=-2$
3. Пример 3случай

   ОДЗ

   Пояснение

   • x≠0, x≠5
4. Пример 4расчёт

   После умножения

   Решение

   • x²−3x−10=0, корни 5 и −2
5. Пример 5расчёт

   Ответ

   Решение

   • x=−2

• «Посторонний» корень часто выглядит красиво (целый, как 5) — именно его и хочется оставить. Светофор здесь — ОДЗ.

• Рациональные выражения
• Квадратный трёхчлен