Алгебра · 8 класс · Алгебра ФГОС · урок 1 · только теория
Квадратные корни. Арифметический квадратный корень
Тема знакомит с понятием арифметического квадратного корня — операцией, обратной возведению в квадрат. Мы научимся понимать, что такое корень, как его находить и почему он всегда неотрицателен. Это основа для решения уравнений, работы с формулами и многих задач реальной жизни.
Чему учимся понимать
Научиться понимать, что такое арифметический квадратный корень, и правильно его вычислять для чисел, являющихся точными квадратами.
Зачем это нужно
Квадратные корни нужны в геометрии для нахождения сторон квадрата по площади, в физике — для расчёта скоростей и ускорений, в строительстве — для вычисления диагоналей и размеров. Без них невозможно решать квадратные уравнения и понимать многие природные закономерности.
Опорные понятия
Главные тезисы
- Квадратный корень из числа a — это число, квадрат которого равен a.
- Арифметический квадратный корень из a — это неотрицательное число, квадрат которого равен a.
- Арифметический квадратный корень существует только для неотрицательных чисел (a ≥ 0).
- Знак √ называется радикалом, а выражение под ним — подкоренным выражением.
- Корень из нуля равен нулю: √0 = 0.
- Корень из единицы равен единице: √1 = 1.
- Если a — точный квадрат (например, 4, 9, 16), то √a — целое число.
- Операция извлечения корня обратна операции возведения в квадрат.
Определения
- Квадратный корень
- Число, которое при возведении в квадрат даёт данное число. Например, корень из 9 — это 3, потому что 3² = 9.
- Арифметический квадратный корень
- Неотрицательное значение квадратного корня. Обозначается знаком √. Например, √9 = 3, а не −3, хотя (−3)² = 9.
- Подкоренное выражение
- Число или выражение, стоящее под знаком корня. В √25 подкоренное выражение — 25.
- Радикал
- Математический знак √, обозначающий извлечение квадратного корня.
- Точный квадрат
- Число, которое является квадратом целого числа. Например, 16 — точный квадрат, так как 16 = 4².
Ключевые факты и правила
- √a имеет смысл только при a ≥ 0. Корень из отрицательного числа не существует в действительных числах.
- √a всегда ≥ 0. Это главное отличие арифметического корня от просто квадратного корня.
- Если a ≥ 0, то (√a)² = a. Например, (√7)² = 7.
- √a² = |a|. Например, √(−5)² = √25 = 5, а не −5.
- Для точных квадратов корень вычисляется точно: √4 = 2, √9 = 3, √16 = 4, √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7, √64 = 8, √81 = 9, √100 = 10.
- Корень из нуля — ноль: √0 = 0.
Теория
Пойми, что квадратный корень — это обратная операция к возведению в квадрат: если 5² = 25, то √25 = 5.
Запомни: арифметический корень всегда неотрицателен. Даже если (−5)² = 25, √25 = 5, а не −5.
Научись определять, является ли число точным квадратом: вспомни таблицу квадратов чисел от 0 до 10.
Если число не является точным квадратом, корень из него — иррациональное число, которое можно вычислить приближённо (например, √2 ≈ 1,414).
Помни, что корень из отрицательного числа не существует в действительных числах — это важно для решения уравнений.
Примеры
- Пример 1расчёт
- Если площадь квадрата равна 49 м²
- то его сторона равна √49 = 7 м
- Пример 2случай
При падении предмета с высоты h скорость v можно найти по формуле v = √(2gh), где g
Пояснение
- ускорение свободного падения
- Пример 3случай
В музыке частота ноты на октаву выше в 2 раза, а на квинту
Пояснение
- в √2 раза (примерно в 1,414 раза)
- Пример 4случай
Диагональ квадрата со стороной 1 равна √2 ≈ 1,414
Пояснение
- это число встречается в архитектуре и дизайне
Интересно знать
- Знак корня √ произошёл от латинской буквы r (radix — корень), которую писали с хвостиком.
- В Древнем Вавилоне умели приближённо вычислять квадратные корни ещё 4000 лет назад, используя метод, похожий на современный итерационный.
- Число √2 — первое открытое иррациональное число. Его невозможно точно записать десятичной дробью, оно бесконечно и непериодично.
Связанные темы
- Свойства арифметического квадратного корня
- Квадратные уравнения
- Функция y = √x и её график
- Степень с целым показателем