Свойства квадратных корней

Научиться применять свойства квадратных корней для упрощения выражений и вычислений.

Свойства корней нужны не только на уроках алгебры, но и в геометрии при работе с теоремами (например, Пифагора), в физике при расчётах скоростей и расстояний, а также в повседневной жизни, когда приходится быстро оценивать значения величин, например, площадь или длину.

• Арифметический квадратный корень из числа a (a ≥ 0) — это неотрицательное число, квадрат которого равен a.
• Корень из произведения неотрицательных чисел равен произведению корней из этих чисел.
• Корень из частного неотрицательных чисел равен частному корней из этих чисел.
• Корень из степени с чётным показателем можно представить как модуль основания, возведённый в половину показателя.
• Вынесение множителя из-под знака корня позволяет упростить выражение, если под корнем есть полный квадрат.
• Внесение множителя под знак корня — операция, обратная вынесению, используется для сравнения или упрощения выражений.
• Свойства корней применяются только для неотрицательных значений переменных, иначе возможны ошибки.

Арифметический квадратный корень

Число, которое при возведении в квадрат даёт данное число. Например, корень из 9 равен 3, потому что 3² = 9.

Корень из произведения

Свойство: √(a·b) = √a · √b, если a ≥ 0 и b ≥ 0. То есть корень из произведения можно разбить на произведение корней.

Корень из частного

Свойство: √(a/b) = √a / √b, если a ≥ 0 и b > 0. Корень из дроби равен дроби из корней.

Корень из степени

Для чётного показателя: √(a²ⁿ) = |aⁿ|. Например, √(x⁴) = x², если x ≥ 0, иначе |x²|.

Вынесение множителя из-под корня

Преобразование, при котором из-под знака корня выносится множитель, являющийся полным квадратом. Например, √(18) = √(9·2) = 3√2.

Внесение множителя под корень

Преобразование, при котором множитель перед корнем вносится под знак корня, возводя его в квадрат. Например, 2√3 = √(4·3) = √12.

• √(a·b) = √a · √b при a ≥ 0, b ≥ 0.
• √(a/b) = √a / √b при a ≥ 0, b > 0.
• √(a²) = |a| — корень из квадрата числа равен модулю этого числа.
• Вынесение множителя: √(a²·b) = a√b при a ≥ 0, b ≥ 0.
• Внесение множителя: a√b = √(a²·b) при a ≥ 0, b ≥ 0.
• Корень из степени с чётным показателем: √(a²ⁿ) = |aⁿ|, а с нечётным — √(a²ⁿ⁺¹) = aⁿ·√a (при a ≥ 0).

1. Пример 1расчёт
   • √(4·9) = √36 = 6
   • и по свойству: √4 · √9 = 2·3 = 6
2. Пример 2случай
   • √(16/25) = √16 / √25 = 4/5
3. Пример 3случай
   • √(x⁶) = |x³|, а при x ≥ 0 просто x³
4. Пример 4случай
   • √(50) = √(25·2) = 5√2
5. Пример 5случай
   • 3√7 = √(9·7) = √63

• Свойство корня из произведения было известно ещё древнегреческим математикам, например, Евклиду, который использовал его в геометрических задачах.
• Знак корня (√) произошёл от латинской буквы r (radix — корень), которую писали с засечкой, превратившейся в современный символ.
• В некоторых языках, например, в немецком, корень называют 'Wurzel' (корень), что связано с представлением о корне растения, из которого вырастает число.

• Арифметический квадратный корень
• Преобразование выражений, содержащих квадратные корни
• Квадратные уравнения
• Теорема Пифагора (геометрия)