Преобразование выражений с корнями

Научиться упрощать выражения, содержащие квадратные корни, используя свойства корней и правила преобразований.

Умение преобразовывать выражения с корнями необходимо для решения многих задач алгебры, геометрии (теорема Пифагора), физики (вычисления с иррациональными величинами) и для успешной сдачи экзаменов. Это также развивает навыки алгебраической культуры и внимательности.

• Арифметический квадратный корень из числа a — это неотрицательное число, квадрат которого равен a.
• Для любых неотрицательных чисел a и b справедливо: √(ab) = √a · √b.
• Для любого неотрицательного числа a и положительного b справедливо: √(a/b) = √a / √b.
• Вынесение множителя из-под знака корня основано на свойстве √(a²b) = a√b (при a ≥ 0).
• Внесение множителя под знак корня — операция, обратная вынесению: a√b = √(a²b) (при a ≥ 0).
• Подобными радикалами называются выражения, имеющие одинаковую подкоренную часть после упрощения.
• Освобождение от иррациональности в знаменателе — это преобразование, при котором знаменатель дроби становится рациональным числом.
• Все преобразования выражений с корнями должны выполняться на основе свойств арифметического квадратного корня и не изменять область допустимых значений переменных.

Арифметический квадратный корень

Это число, которое при возведении в квадрат дает исходное число. Обозначается √a, где a ≥ 0. Например, √9 = 3, потому что 3² = 9.

Подкоренное выражение

Число или выражение, стоящее под знаком корня. Например, в √(x+5) подкоренное выражение — это x+5.

Вынесение множителя из-под знака корня

Преобразование, при котором из-под корня выносится множитель, являющийся полным квадратом. Например, √12 = √(4·3) = 2√3.

Внесение множителя под знак корня

Преобразование, при котором множитель, стоящий перед корнем, вносится под знак корня, возводясь в квадрат. Например, 3√2 = √(9·2) = √18.

Подобные радикалы

Выражения, которые после упрощения имеют одинаковую подкоренную часть. Например, 2√3 и 5√3 — подобные, их можно складывать: 2√3 + 5√3 = 7√3.

Освобождение от иррациональности в знаменателе

Преобразование дроби, при котором знаменатель перестает содержать корни. Например, 1/√2 = √2/2.

• Свойство умножения: √(ab) = √a · √b, где a ≥ 0, b ≥ 0. Это позволяет разбивать корень из произведения на произведение корней.
• Свойство деления: √(a/b) = √a / √b, где a ≥ 0, b > 0. Это позволяет упрощать корень из дроби.
• Вынесение множителя: √(a²b) = a√b, где a ≥ 0. Например, √50 = √(25·2) = 5√2.
• Внесение множителя: a√b = √(a²b), где a ≥ 0. Например, 2√3 = √12.
• Сложение и вычитание корней возможно только для подобных радикалов: a√c ± b√c = (a ± b)√c.
• Для освобождения от иррациональности в знаменателе вида a/√b дробь умножают на √b/√b: a/√b = (a√b)/b.
• Корень из квадрата числа равен модулю этого числа: √(a²) = |a|. Это важно для отрицательных значений переменных.

1. Пример 1расчёт

   Упростим √72

   Решение

   • разложим 72 на множители 36 и 2, тогда √72 = √(36·2) = 6√2
2. Пример 2расчёт

   Сложим 3√5 и 2√5

   Решение

   • это подобные радикалы, поэтому 3√5 + 2√5 = 5√5
3. Пример 3случай

   Освободимся от иррациональности в дроби 5/√3

   Пояснение

   • умножим числитель и знаменатель на √3, получим (5√3)/3
4. Пример 4расчёт

   Внесем множитель под корень в выражении 4√2

   Решение

   • 4√2 = √(16·2) = √32

• Знак корня (√) произошел от латинской буквы r (radix — корень), которую писали с хвостиком. В XVII веке Рене Декарт соединил эту букву с чертой, получив современный символ.
• Квадратный корень из 2 — первое открытое иррациональное число. Древнегреческий математик Гиппас доказал, что его нельзя представить дробью, за что, по легенде, был наказан богами.
• Выражение √(a²) = |a| часто забывают, но именно оно помогает избегать ошибок при работе с отрицательными числами. Например, √((-3)²) = 3, а не -3.

• Помни, что корень из отрицательного числа не существует в действительных числах, поэтому подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
• При вынесении множителя из-под корня убедись, что выносимый множитель — полный квадрат, иначе преобразование будет неверным.
• При внесении множителя под корень не забывай возводить его в квадрат, иначе значение выражения изменится.

• Квадратные корни. Арифметический квадратный корень
• Свойства арифметического квадратного корня
• Квадратные уравнения
• Рациональные выражения