Квадратное уравнение. Неполные квадратные уравнения

Научиться определять квадратное уравнение, приводить его к стандартному виду и решать неполные квадратные уравнения разными способами.

Квадратные уравнения описывают множество реальных процессов: движение тел, площади участков, экономические расчёты. Умение решать их помогает моделировать и понимать окружающий мир, а также является основой для изучения более сложных тем алгебры.

• Квадратным уравнением называется уравнение вида ax² + bx + c = 0, где x — переменная, a, b, c — некоторые числа, причём a ≠ 0.
• Число a называют первым (старшим) коэффициентом, b — вторым коэффициентом, c — свободным членом.
• Если в квадратном уравнении хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю, то уравнение называют неполным.
• Неполные квадратные уравнения решаются без использования общей формулы корней, а путём разложения на множители или извлечения корня.
• Уравнение вида ax² = 0 имеет единственный корень x = 0.
• Уравнение вида ax² + c = 0 решается переносом c в правую часть и извлечением квадратного корня; если –c/a > 0, то два корня, если –c/a < 0, то корней нет.
• Уравнение вида ax² + bx = 0 решается вынесением x за скобки: x(ax + b) = 0, откуда x = 0 или x = –b/a.

Квадратное уравнение

Уравнение вида ax² + bx + c = 0, где a, b, c — числа, a ≠ 0, а x — переменная.

Стандартный вид квадратного уравнения

Запись уравнения в виде ax² + bx + c = 0, где все члены расположены в порядке убывания степеней x.

Старший коэффициент (a)

Число, стоящее перед x²; оно не может быть нулём, иначе уравнение перестанет быть квадратным.

Второй коэффициент (b)

Число, стоящее перед x; может быть любым, включая ноль.

Свободный член (c)

Число без переменной; может быть любым, включая ноль.

Неполное квадратное уравнение

Квадратное уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю.

Корень уравнения

Значение переменной, при подстановке которого уравнение превращается в верное числовое равенство.

• В квадратном уравнении обязательно a ≠ 0; если a = 0, уравнение становится линейным.
• Неполные квадратные уравнения бывают трёх видов: ax² = 0, ax² + c = 0, ax² + bx = 0.
• Уравнение ax² = 0 всегда имеет ровно один корень: x = 0.
• Уравнение ax² + c = 0: если –c/a > 0, то x = ±√(–c/a); если –c/a < 0, то корней нет (действительных).
• Уравнение ax² + bx = 0 всегда имеет два корня: x = 0 и x = –b/a.
• При решении неполных уравнений не нужно использовать дискриминант — это упрощает вычисления.

1. Пример 1расчёт
   • Уравнение 3x² = 0: делим на 3
   • получаем x² = 0
   • значит x = 0
2. Пример 2расчёт
   • Уравнение 2x² – 8 = 0: переносим –8 вправо: 2x² = 8
   • делим на 2: x² = 4
   • извлекаем корень: x = ±2
3. Пример 3расчёт
   • Уравнение x² + 5x = 0: выносим x за скобки: x(x + 5) = 0
   • значит x = 0 или x = –5
4. Пример 4расчёт

   В физике

   Решение

   • если тело брошено вертикально вверх, его высота меняется по закону h = v₀t – (gt²)/2
   • Приравнивая h = 0, получаем квадратное уравнение, которое часто бывает неполным

• Слово «квадратное» происходит от латинского «quadratus» — «квадрат», потому что переменная возводится во вторую степень.
• Первые квадратные уравнения решали ещё в Древнем Вавилоне около 2000 лет до н.э., используя геометрические методы.
• Если в уравнении ax² + c = 0 свободный член c = 0, то уравнение превращается в ax² = 0, и корень всегда один — ноль.

• Линейные уравнения (7 класс)
• Формула корней квадратного уравнения (8 класс, следующий урок)
• Теорема Виета (8 класс)
• Квадратичная функция и её график (8 класс)