Формула корней квадратного уравнения

Научиться решать любое квадратное уравнение по формуле корней через дискриминант.

Квадратные уравнения описывают множество реальных процессов: движение тел, экономические расчёты, геометрические задачи. Умение решать их быстро и без ошибок необходимо для дальнейшего изучения математики и естественных наук.

• Квадратным уравнением называют уравнение вида ax² + bx + c = 0, где a ≠ 0.
• Дискриминант D = b² − 4ac определяет число корней: если D > 0 — два корня, D = 0 — один корень, D < 0 — корней нет.
• Корни вычисляются по формуле x = (−b ± √D) / (2a).
• Если D = 0, формула даёт один корень x = −b / (2a).
• Если D < 0, квадратное уравнение не имеет действительных корней.
• При решении важно правильно определять коэффициенты a, b и c, особенно если уравнение дано в нестандартном виде.
• Для приведённого уравнения (a = 1) можно использовать теорему Виета как более быстрый способ проверки корней.

Квадратное уравнение

Уравнение вида ax² + bx + c = 0, где x — переменная, a, b, c — числа, причём a ≠ 0.

Коэффициенты

Числа a, b, c в квадратном уравнении: a — старший коэффициент (при x²), b — средний (при x), c — свободный член.

Дискриминант

Выражение D = b² − 4ac, которое показывает, сколько корней имеет квадратное уравнение.

Корень уравнения

Значение переменной x, при котором уравнение превращается в верное числовое равенство.

Приведённое квадратное уравнение

Квадратное уравнение, в котором старший коэффициент a = 1 (например, x² + px + q = 0).

Неполное квадратное уравнение

Уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю (например, ax² + bx = 0 или ax² + c = 0).

• Формула корней: x = (−b ± √D) / (2a), где D = b² − 4ac.
• Если D > 0, уравнение имеет два различных корня.
• Если D = 0, уравнение имеет один корень (два совпадающих).
• Если D < 0, уравнение не имеет действительных корней.
• Для неполных уравнений можно решать без дискриминанта: ax² + bx = 0 → x(ax + b) = 0; ax² + c = 0 → x² = −c/a.
• Теорема Виета: для приведённого уравнения x² + px + q = 0 сумма корней равна −p, произведение равно q.

1. Пример 1расчёт
   • Уравнение x² − 5x + 6 = 0: a = 1
   • b = −5
   • c = 6. D = 25 − 24 = 1 > 0
   • корни: x₁ = 2
   • x₂ = 3
2. Пример 2расчёт
   • Уравнение x² + 2x + 1 = 0: D = 4 − 4 = 0
   • корень x = −1 (два одинаковых корня)
3. Пример 3случай
   • Уравнение x² + x + 1 = 0: D = 1 − 4 = −3 < 0, действительных корней нет
4. Пример 4расчёт
   • Неполное уравнение 2x² − 8 = 0: x² = 4
   • x = ±2
5. Пример 5расчёт

   В задаче о площади прямоугольника

   Решение

   • если одна сторона x, другая x + 3, а площадь 10, то получаем уравнение x(x + 3) = 10, которое сводится к квадратному

• Слово «дискриминант» происходит от латинского discriminare — «различать», потому что он различает случаи числа корней.
• Формула корней была известна ещё в Древней Индии и Вавилоне, но в современном виде её записал французский математик Франсуа Виет в XVI веке.
• Квадратные уравнения используются в физике для расчёта траекторий движения тел, например, при броске мяча под углом к горизонту.

• Квадратные уравнения. Неполные уравнения
• Теорема Виета
• Разложение квадратного трёхчлена на множители
• Решение задач с помощью квадратных уравнений