Теорема Виета

Научиться применять теорему Виета для быстрого решения квадратных уравнений и проверки найденных корней.

Теорема Виета — это не просто математический трюк. Она используется в физике при расчёте траекторий, в экономике для нахождения точек равновесия, а также лежит в основе многих методов решения уравнений высших степеней. В жизни это умение быстро и без калькулятора решать практические задачи, например, прикинуть размеры участка по известной площади и периметру.

• Теорема Виета применима только к приведённым квадратным уравнениям (где коэффициент при x² равен 1).
• Для любого приведённого квадратного уравнения x² + px + q = 0 сумма корней равна -p, а произведение равно q.
• Если уравнение не является приведённым, его можно разделить на старший коэффициент, чтобы получить приведённый вид.
• Обратная теорема Виета позволяет составлять квадратное уравнение по известным корням.
• Теорема Виета работает и для уравнений с отрицательными корнями, главное — правильно учитывать знаки.
• С помощью теоремы Виета можно быстро проверять правильность решения квадратного уравнения.
• Теорема Виета является частным случаем более общих формул для многочленов любой степени.

Квадратное уравнение

Уравнение вида ax² + bx + c = 0, где a, b, c — числа, причём a ≠ 0.

Приведённое квадратное уравнение

Квадратное уравнение, в котором старший коэффициент a = 1. Обычно записывается как x² + px + q = 0.

Корень уравнения

Значение переменной x, при подстановке которого уравнение превращается в верное числовое равенство.

Теорема Виета

Правило, которое гласит: для приведённого квадратного уравнения x² + px + q = 0 сумма его корней равна -p, а произведение корней равно q.

Обратная теорема Виета

Если для двух чисел m и n выполняются условия m + n = -p и m * n = q, то эти числа являются корнями уравнения x² + px + q = 0.

• Для уравнения x² + px + q = 0: x₁ + x₂ = -p, x₁ * x₂ = q.
• Для полного уравнения ax² + bx + c = 0: x₁ + x₂ = -b/a, x₁ * x₂ = c/a.
• Если дискриминант меньше нуля, корней нет, и теорема Виета не применяется.
• Если дискриминант равен нулю, уравнение имеет один корень, и теорема Виета даёт x₁ + x₂ = 2x, x₁ * x₂ = x².
• Теорема Виета позволяет решать уравнения подбором, когда корни являются целыми числами.
• Знак корней можно определить по знакам p и q: если q > 0, корни одного знака, если q < 0 — разного.

1. Пример 1расчёт
   • Уравнение x² - 5x + 6 = 0. По теореме Виета: x₁ + x₂ = 5
   • x₁ * x₂ = 6. Подбором находим: 2 + 3 = 5, 2 * 3 = 6. Значит, корни: 2 и 3
2. Пример 2расчёт
   • Уравнение x² + 4x + 3 = 0. Здесь p = 4
   • q = 3. Сумма корней = -4
   • произведение = 3. Подбираем: -1 + (-3) = -4
   • (-1) * (-3) = 3. Корни: -1 и -3
3. Пример 3расчёт
   • Если нужно составить уравнение с корнями 5 и -2
   • то по обратной теореме: сумма = 3
   • произведение = -10. Уравнение: x² - 3x - 10 = 0
4. Пример 4расчёт

   В задаче про прямоугольный участок

   Решение

   • площадь 12 м², периметр 14 м
   • Пусть стороны a и b
   • Тогда a + b = 7, a * b = 12
   • По теореме Виета a и b — корни уравнения x² - 7x + 12 = 0
   • Решая, получаем 3 и 4

• Франсуа Виет, в честь которого названа теорема, был не профессиональным математиком, а адвокатом и советником короля Генриха III. Математика была его хобби.
• Теорема Виета справедлива не только для квадратных, но и для кубических и даже уравнений более высоких степеней, но там она формулируется сложнее.
• Виет ввёл буквенные обозначения для коэффициентов, что позволило записывать уравнения в общем виде — до него все решали только с конкретными числами.

• Квадратные уравнения и дискриминант
• Разложение квадратного трёхчлена на множители
• Решение задач с помощью квадратных уравнений