Рациональные уравнения

Научиться решать рациональные уравнения и понимать, почему нужно проверять корни.

Рациональные уравнения встречаются в физике (например, при расчёте скорости), в экономике (при вычислении долей) и в повседневной жизни (например, при смешивании растворов). Умение их решать развивает логическое мышление и аккуратность.

• Рациональное уравнение — это уравнение, в котором есть дроби с переменной в знаменателе.
• Чтобы решить рациональное уравнение, нужно избавиться от знаменателей, умножив обе части на общий знаменатель.
• Значения переменной, при которых знаменатель обращается в ноль, недопустимы (ОДЗ).
• После умножения на знаменатель могут появиться посторонние корни, поэтому обязательна проверка.
• Если дробь равна нулю, то числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
• Решение рационального уравнения сводится к решению линейного или квадратного уравнения после упрощения.

Рациональное уравнение

Уравнение, в котором есть дроби, и переменная стоит в знаменателе (или в числителе) дроби.

ОДЗ (область допустимых значений)

Все значения переменной, при которых уравнение имеет смысл (знаменатели не равны нулю).

Посторонний корень

Число, которое получается при решении, но не подходит в исходное уравнение (обычно из-за деления на ноль).

Общий знаменатель

Выражение, на которое можно умножить все части уравнения, чтобы избавиться от дробей.

• Если дробь равна нулю, то числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
• При умножении обеих частей уравнения на общий знаменатель нужно учитывать, что знаменатель не должен быть равен нулю.
• Корни, которые обращают знаменатель в ноль, не являются решениями уравнения.
• После решения уравнения обязательно проверяют каждый корень подстановкой в исходное уравнение или по ОДЗ.
• Рациональное уравнение может иметь одно решение, несколько решений или не иметь решений.

1. Пример 1расчёт

   Пример

   Решение

   • уравнение (x+1)/(x-2) = 3
   • Здесь x не может быть равен 2, потому что знаменатель станет нулём
   • Умножаем на (x-2), получаем x+1 = 3(x-2), решаем: x = 3
   • Проверка: (3+1)/(3-2) = 4, верно
2. Пример 2расчёт

   Пример

   Решение

   • уравнение 1/x + 1/(x+1) = 1
   • Общий знаменатель x(x+1)
   • Умножаем, получаем (x+1)+x = x(x+1), решаем квадратное уравнение, находим корни и проверяем, что они не равны 0 и -1
3. Пример 3расчёт

   Пример

   Решение

   • уравнение (x^2-1)/(x-1) = 0
   • Дробь равна нулю, значит числитель x^2-1=0, корни x=1 и x=-1
   • Но x=1 не подходит, так как знаменатель обращается в ноль, поэтому ответ только x=-1

• Слово «рациональный» происходит от латинского «ratio» — «отношение», потому что такие уравнения состоят из отношений (дробей).
• В Древнем Египте дроби использовали для измерения земли, и задачи с дробями были одними из первых в истории математики.
• Посторонние корни появляются не только в рациональных уравнениях, но и при возведении в квадрат — это общая проблема преобразований.

• Линейные уравнения
• Квадратные уравнения
• Дроби и действия с ними
• Разложение на множители