Неравенства. Числовые промежутки

Научиться понимать, что такое числовое неравенство, как его записывать и изображать на координатной прямой, а также различать виды числовых промежутков.

Неравенства и промежутки используются везде: от оценки размеров и расстояний до задания допустимых значений в формулах (например, в физике или экономике). Умение работать с ними помогает точно описывать условия задач и находить решения.

• Числовое неравенство — это утверждение, что одно число больше или меньше другого.
• Неравенства бывают строгими (>, <) и нестрогими (≥, ≤).
• Числовой промежуток — это множество всех чисел, удовлетворяющих некоторому неравенству.
• Промежутки изображаются на координатной прямой: точка закрашена, если число входит в промежуток, и выколота, если не входит.
• Существуют разные виды промежутков: интервал, отрезок, луч, открытый луч.
• Объединение промежутков — это все числа, принадлежащие хотя бы одному из них; пересечение — числа, принадлежащие обоим.
• Запись промежутка может быть в виде неравенства, в виде скобок или в виде графической схемы.

Числовое неравенство

Высказывание о том, что одно число больше или меньше другого, записанное с помощью знаков >, <, ≥, ≤.

Строгое неравенство

Неравенство со знаками > или <, которое не допускает равенства чисел.

Нестрогое неравенство

Неравенство со знаками ≥ или ≤, которое допускает равенство чисел.

Числовой промежуток

Множество всех чисел, которые удовлетворяют заданному неравенству.

Интервал

Промежуток, в который не входят его концы, записывается круглыми скобками (a; b).

Отрезок

Промежуток, в который входят его концы, записывается квадратными скобками [a; b].

Луч

Промежуток, который начинается с числа и уходит в бесконечность, например [a; +∞).

Открытый луч

Луч, у которого начальная точка не входит в промежуток, например (a; +∞).

• Если a > b, то на координатной прямой точка a расположена правее точки b.
• Строгие неравенства обозначаются знаками > и <, нестрогие — ≥ и ≤.
• Интервал (a; b) — это все числа x, такие что a < x < b.
• Отрезок [a; b] — это все числа x, такие что a ≤ x ≤ b.
• Луч [a; +∞) — это все числа x, такие что x ≥ a.
• Открытый луч (a; +∞) — это все числа x, такие что x > a.
• При изображении на координатной прямой точка, соответствующая числу, входящему в промежуток, закрашивается, не входящему — выкалывается.
• Объединение промежутков обозначается знаком ∪, пересечение — знаком ∩.

1. Пример 1случай
   • Если температура воздуха t удовлетворяет неравенству 15 ≤ t ≤ 25, то это можно записать как отрезок [15
   • 25] — комфортная температура для прогулки
2. Пример 2случай
   • Скорость автомобиля v на трассе должна быть не менее 60 км/ч и не более 110 км/ч: это промежуток [60
   • 110]
3. Пример 3случай
   • Для приготовления раствора нужно взять от 2 до 5 ложек сахара: это интервал (2
   • 5), если ровно 2 или 5 не подходят
4. Пример 4случай
   • Рост человека обычно больше 50 см и меньше 250 см: это интервал (50
   • 250)

• Знаки > и < придумал английский математик Томас Хэрриот в конце XVI века, но они стали популярны только спустя столетие.
• В программировании неравенства используются для проверки условий, например, чтобы определить, можно ли пользователю пройти по возрасту.
• Числовые промежутки помогают описывать диапазоны измерений, например, температуру воздуха или скорость ветра.

• Линейные неравенства с одной переменной
• Системы неравенств
• Функции и их графики