Линейные неравенства

Научиться понимать, что такое линейное неравенство, и освоить алгоритм его решения с помощью равносильных преобразований.

Неравенства повсюду: от ограничений скорости до расчета бюджета. Они помогают описывать условия, где есть границы: «не больше», «не меньше», «в пределах». В науке неравенства задают допустимые значения величин, например, температуру хранения лекарств или нормы питания.

• Линейное неравенство — это неравенство вида ax + b > 0 (или <, ≥, ≤), где a и b — числа, a ≠ 0.
• Решить неравенство — значит найти все значения переменной, при которых неравенство становится верным.
• При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.
• Решение линейного неравенства — это числовой промежуток (луч, интервал или отрезок).
• Неравенства, имеющие одинаковые решения, называются равносильными.
• Графически решение неравенства изображается на координатной прямой штриховкой.
• Строгие неравенства (<, >) исключают граничную точку, нестрогие (≤, ≥) — включают.

Неравенство

Запись, в которой два выражения сравниваются с помощью знаков >, <, ≥ или ≤.

Линейное неравенство

Неравенство, которое после преобразований имеет вид ax + b > 0 (или <, ≥, ≤), где a и b — числа, причем a не равно нулю.

Решение неравенства

Значение переменной, при подстановке которого неравенство становится верным числовым утверждением.

Равносильные неравенства

Неравенства, у которых множества решений совпадают.

Числовой промежуток

Множество чисел, удовлетворяющих определенному условию, например, все числа больше 2 или от -1 до 5 включительно.

Строгое неравенство

Неравенство со знаком > или <, которое не включает граничное значение.

Нестрогое неравенство

Неравенство со знаком ≥ или ≤, которое включает граничное значение.

• Если к обеим частям неравенства прибавить одно и то же число, получится равносильное неравенство.
• Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, знак неравенства не меняется.
• Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный.
• Решение неравенства ax + b > 0 при a > 0: x > -b/a; при a < 0: x < -b/a.
• Неравенство вида ax + b > 0 при a = 0 может быть либо всегда истинным (если b > 0), либо не иметь решений (если b ≤ 0).
• Граница промежутка обозначается выколотой точкой (для строгих неравенств) или закрашенной (для нестрогих).

1. Пример 1случай
   • Если скорость автомобиля должна быть не более 60 км/ч, это записывается как v ≤ 60
2. Пример 2случай
   • Для приготовления теста нужно взять муки не меньше 2 стаканов: m ≥ 2
3. Пример 3случай
   • Температура хранения вакцины должна быть от +2 до +8 градусов: 2 ≤ t ≤ 8
4. Пример 4случай
   • Чтобы пройти в аттракцион, рост должен быть не ниже 120 см: h ≥ 120

• Знак неравенства «>» и «<» придумал английский математик Томас Хэрриот в 1631 году, но они стали популярны только через столетие.
• В Древнем Египте для сравнения чисел использовали символы, похожие на птичьи клювы, которые указывали на большее число.
• Неравенства используются в экономике для описания бюджетных ограничений: например, расходы не должны превышать доходы.

• Линейные уравнения
• Числовые промежутки
• Системы линейных неравенств
• Квадратные неравенства