Системы линейных неравенств

Научиться решать систему линейных неравенств с одной переменной и записывать её решение в виде числового промежутка.

Системы неравенств помогают описывать условия, когда нужно соблюсти несколько ограничений одновременно. Например, чтобы купить билет на аттракцион, нужно быть не младше определённого возраста и не выше определённого роста — это и есть система неравенств. В жизни такие системы встречаются в экономике, технике и даже при планировании бюджета.

• Система линейных неравенств — это два или более неравенства, которые должны выполняться одновременно.
• Решением системы является пересечение множеств решений каждого неравенства.
• Чтобы решить систему, нужно решить каждое неравенство отдельно, а затем найти общую часть решений.
• Если общая часть пуста, то система не имеет решений.
• Если общая часть — бесконечный промежуток, то решений бесконечно много.
• Строгие неравенства (>, <) изображаются выколотыми точками, нестрогие (≥, ≤) — закрашенными.
• Ответ записывается в виде числового промежутка или объединения промежутков.

Система линейных неравенств

Несколько линейных неравенств с одной переменной, которые нужно решить одновременно, то есть найти такие значения переменной, при которых каждое неравенство верно.

Решение системы неравенств

Значение переменной, которое удовлетворяет всем неравенствам системы одновременно.

Пересечение множеств

Общая часть двух или более множеств, то есть элементы, которые принадлежат каждому из них.

Числовой промежуток

Множество чисел на координатной прямой, которое можно записать с помощью скобок (круглых или квадратных) и знаков неравенства.

Строгое неравенство

Неравенство вида > или <, которое не включает граничное значение (точка на прямой выколота).

Нестрогое неравенство

Неравенство вида ≥ или ≤, которое включает граничное значение (точка на прямой закрашена).

• Чтобы решить систему неравенств, нужно решить каждое неравенство отдельно, а затем найти пересечение их решений.
• Если система состоит из неравенств x > a и x < b, то решение — интервал (a; b), если a < b.
• Если система состоит из неравенств x > a и x > b, то решение — луч (max(a; b); +∞).
• Если система состоит из неравенств x < a и x < b, то решение — луч (-∞; min(a; b)).
• Если система состоит из неравенств x > a и x < b, но a > b, то решений нет.
• При умножении неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.
• Ответ записывается в виде промежутка или объединения промежутков, например: (2; 5] или (-∞; 1) ∪ (3; +∞).

1. Пример 1случай

   Пример 1

   Пояснение

   • Система x > 2 и x < 5. Решение: (2
   • 5) — все числа от 2 до 5, не включая границы
2. Пример 2случай

   Пример 2

   Пояснение

   • Система x ≥ 3 и x ≤ 7. Решение: [3
   • 7] — все числа от 3 до 7, включая границы
3. Пример 3случай

   Пример 3

   Пояснение

   • Система x > 4 и x > 1. Решение: (4
   • +∞) — все числа больше 4
4. Пример 4случай

   Пример 4

   Пояснение

   • Система x < 0 и x > 5
   • Решение: пустое множество, так как нет чисел, которые одновременно меньше 0 и больше 5

• Системы неравенств используются в компьютерной графике для определения области видимости объектов на экране.
• В экономике системы неравенств помогают находить оптимальные планы производства, когда нужно учесть ограничения по ресурсам.
• Древнегреческий математик Диофант уже в III веке н.э. решал задачи, которые можно свести к системам неравенств.

• Линейные неравенства с одной переменной
• Числовые промежутки
• Системы линейных уравнений
• Множества и операции над ними