Алгебра · 8 класс · Алгебра ФГОС · урок 15 · только теория
Квадратичная функция: введение
Квадратичная функция — это особая зависимость, график которой всегда парабола. Мы научимся видеть её в формулах, строить по точкам и понимать, как коэффициенты влияют на форму и положение параболы.
Чему учимся понимать
Научиться распознавать квадратичную функцию, строить её график и понимать, как коэффициенты влияют на вид параболы.
Зачем это нужно
Квадратичные функции описывают движение тел под действием силы тяжести, форму мостов, траектории мяча, а также используются в экономике для расчёта прибыли и затрат.
Опорные понятия
Главные тезисы
- Квадратичная функция имеет вид y = ax² + bx + c, где a ≠ 0.
- График квадратичной функции — парабола, симметричная относительно вертикальной прямой, проходящей через вершину.
- Если a > 0, ветви параболы направлены вверх; если a < 0 — вниз.
- Вершина параболы — точка минимума (при a > 0) или максимума (при a < 0).
- Коэффициент c равен ординате точки пересечения параболы с осью OY.
- Область определения квадратичной функции — все действительные числа.
- Область значений зависит от направления ветвей и координат вершины.
Определения
- Квадратичная функция
- Функция, которую можно задать формулой y = ax² + bx + c, где a, b, c — числа, причём a ≠ 0.
- Парабола
- График квадратичной функции — плавная кривая, похожая на чашу или перевёрнутую чашу.
- Вершина параболы
- Точка параболы, где она меняет направление: самая нижняя (если ветви вверх) или самая верхняя (если ветви вниз).
- Ось симметрии параболы
- Вертикальная прямая, проходящая через вершину, которая делит параболу на две зеркальные половины.
- Нули функции
- Значения x, при которых y = 0, то есть точки пересечения графика с осью OX.
- Коэффициент a
- Число перед x², которое определяет направление ветвей и «крутизну» параболы.
- Коэффициент c
- Свободный член, который показывает, где парабола пересекает ось OY.
Ключевые факты и правила
- Формула квадратичной функции: y = ax² + bx + c, где a ≠ 0. Если a = 0, функция становится линейной.
- График всегда парабола, независимо от значений коэффициентов.
- Ветви параболы направлены вверх при a > 0 и вниз при a < 0.
- Вершина параболы имеет координаты: x₀ = -b/(2a), y₀ = y(x₀).
- Ось симметрии — прямая x = x₀.
- Точка пересечения с осью OY имеет координаты (0; c).
- Для построения графика достаточно найти вершину, несколько точек слева и справа от неё, а затем соединить их плавной кривой.
Теория
Шаг 1. Определи коэффициенты a, b, c в формуле y = ax² + bx + c.
Шаг 2. По знаку a определи направление ветвей: a > 0 — вверх, a < 0 — вниз.
Шаг 3. Найди координаты вершины по формуле x₀ = -b/(2a), затем подставь x₀ в формулу, чтобы найти y₀.
Шаг 4. Построй ось симметрии x = x₀ и отметь вершину.
Шаг 5. Выбери несколько значений x слева и справа от вершины, вычисли y и отметь точки на координатной плоскости.
Шаг 6. Соедини точки плавной кривой — получится парабола.
Примеры
- Пример 1случай
- Функция y = x² — простейшая квадратичная функция. Её график — парабола с вершиной в точке (0
- 0), ветви вверх
- Пример 2случай
- Функция y = -2x² + 3 имеет ветви вниз (a = -2 < 0) и пересекает ось OY в точке (0
- 3)
- Пример 3расчёт
Функция y = (x - 2)² + 1
Решение
- парабола
- сдвинутая на 2 единицы вправо и на 1 вверх относительно y = x²
- Пример 4расчёт
- Если бросить камень
- высота его полёта описывается квадратичной функцией времени: h(t) = -5t² + 20t + 1. График — парабола, показывающая, как камень поднимается и падает
Интересно знать
- Форма параболы используется в архитектуре: например, мосты и антенны-тарелки имеют параболическую форму, чтобы фокусировать сигналы.
- Если подбросить мяч, его траектория — почти идеальная парабола (если не учитывать сопротивление воздуха).
- В Древней Греции параболу открыли при изучении конических сечений — это кривая, которая получается, если разрезать конус плоскостью.
Связанные темы
- Линейная функция и её график
- Квадратные уравнения
- Свойства функций: монотонность, экстремумы