График функции y = ax²

Научиться строить график функции y = ax² и понимать, как коэффициент a влияет на форму и положение параболы.

Парабола — одна из самых распространённых кривых в природе и технике: по ней движутся тела, брошенные под углом к горизонту, работают антенны-тарелки, фары автомобилей и мосты. Понимание её свойств помогает описывать реальные процессы и решать практические задачи.

• Графиком функции y = ax² является парабола, которая проходит через начало координат (0;0).
• Вершина параболы y = ax² находится в точке (0;0) — это самая нижняя (если a > 0) или самая верхняя (если a < 0) точка графика.
• Ветви параболы направлены вверх, если a > 0, и вниз, если a < 0.
• Коэффициент a определяет «крутизну» параболы: чем больше |a|, тем уже (круче) парабола; чем меньше |a|, тем шире (положе).
• Парабола симметрична относительно оси OY (оси ординат).
• Для построения графика достаточно вычислить значения функции в нескольких точках (например, x = -2, -1, 0, 1, 2) и соединить их плавной кривой.
• При a > 0 функция y = ax² принимает только неотрицательные значения (y ≥ 0), при a < 0 — только неположительные (y ≤ 0).

Квадратичная функция

Функция вида y = ax² + bx + c, где a, b, c — числа, причём a ≠ 0. В данной теме рассматривается частный случай, когда b = 0 и c = 0, то есть y = ax².

Парабола

График квадратичной функции. Это плавная кривая линия, состоящая из двух симметричных ветвей, которые сходятся в вершине.

Вершина параболы

Точка, в которой парабола меняет направление. Для y = ax² вершина всегда находится в начале координат (0;0).

Ось симметрии параболы

Прямая, которая делит параболу на две зеркально равные части. Для y = ax² это ось OY (x = 0).

Коэффициент a

Число, которое стоит перед x². Оно определяет, куда направлены ветви параболы и насколько она «широкая» или «узкая».

• График функции y = ax² — парабола с вершиной в точке (0;0).
• Если a > 0, ветви параболы направлены вверх; если a < 0 — вниз.
• Чем больше |a|, тем круче (уже) парабола; чем меньше |a|, тем она более пологая (широкая).
• Парабола симметрична относительно оси OY: точки с координатами (x; y) и (-x; y) лежат на графике одновременно.
• При a = 1 получаем простейшую параболу y = x², которую часто используют как эталон.
• Для построения графика достаточно вычислить значения y для нескольких симметричных значений x (например, -2, -1, 0, 1, 2) и плавно соединить точки.

1. Пример 1расчёт

   Пример 1

   Решение

   • y = 2x². Здесь a = 2 > 0, ветви вверх, парабола уже, чем y = x². При x = 1, y = 2
   • при x = 2, y = 8
2. Пример 2расчёт

   Пример 2

   Решение

   • y = -0.5x². Здесь a = -0.5 < 0, ветви вниз, парабола широкая. При x = 2, y = -2
   • при x = -2, y = -2 (симметрия)
3. Пример 3расчёт

   Пример 3

   Решение

   • y = x² — простейшая парабола
   • Точки: (-2;4), (-1;1), (0;0), (1;1), (2;4)
4. Пример 4случай

   Пример 4

   Пояснение

   • Траектория струи воды из фонтана — это часть параболы, направленной ветвями вниз (a < 0)

• Если подбросить мяч, он летит по параболе — это одно из проявлений квадратичной функции в физике.
• Форма спутниковых антенн (тарелок) — это параболоид вращения, который получается вращением параболы вокруг оси. Благодаря этому свойству сигнал собирается в одной точке — фокусе.
• Арки мостов часто делают в форме параболы, потому что такая форма равномерно распределяет нагрузку.

• Функция y = kx (прямая пропорциональность) — график прямая, здесь линейная зависимость, а в параболе — квадратичная.
• Квадратные уравнения — решение ax² + c = 0 связано с нахождением точек пересечения параболы с осью OX.
• Свойства степеней — возведение в квадрат чисел, необходимое для вычисления значений функции.