Алгебра · 9 класс · Алгебра ФГОС · урок 1 · только теория
Квадратичная функция y = ax² + bx + c
Квадратичная функция — это одна из важнейших функций в алгебре, графиком которой является парабола. Мы научимся понимать её свойства, строить график и видеть, как она описывает реальные процессы, например, движение брошенного мяча.
Чему учимся понимать
Научиться понимать, как коэффициенты a, b и c влияют на вид и положение параболы, и уметь описывать её свойства.
Зачем это нужно
Квадратичная функция встречается в физике (движение с ускорением), экономике (максимизация прибыли), архитектуре (формы мостов и арок) и даже в природе (траектории полёта тел). Понимание её свойств помогает решать практические задачи на нахождение максимумов и минимумов.
Опорные понятия
Главные тезисы
- Квадратичная функция задаётся формулой y = ax² + bx + c, где a ≠ 0.
- Графиком квадратичной функции является парабола.
- Если a > 0, ветви параболы направлены вверх; если a < 0 — вниз.
- Вершина параболы — точка, где функция принимает наибольшее или наименьшее значение.
- Ось симметрии параболы — вертикальная прямая, проходящая через вершину.
- Нули функции — значения x, при которых y = 0, находятся решением уравнения ax² + bx + c = 0.
- Коэффициент c показывает точку пересечения параболы с осью OY.
- Дискриминант D = b² - 4ac определяет количество корней квадратного уравнения: если D > 0 — два корня, D = 0 — один корень, D < 0 — нет корней.
Определения
- Квадратичная функция
- Функция вида y = ax² + bx + c, где a, b, c — числа, причём a ≠ 0.
- Парабола
- График квадратичной функции, имеющий форму симметричной дуги.
- Вершина параболы
- Точка параболы, в которой она достигает своего минимума (если a > 0) или максимума (если a < 0).
- Ось симметрии параболы
- Вертикальная прямая, проходящая через вершину, относительно которой парабола симметрична.
- Нули функции
- Значения аргумента x, при которых значение функции равно нулю (y = 0).
- Дискриминант
- Число, вычисляемое по формуле D = b² - 4ac, которое показывает, сколько корней имеет квадратное уравнение.
Ключевые факты и правила
- Формула вершины параболы: x₀ = -b / (2a), y₀ = f(x₀).
- Ось симметрии: x = -b / (2a).
- Точка пересечения с осью OY: (0; c).
- Если a > 0, функция убывает на промежутке (-∞; x₀) и возрастает на (x₀; +∞). Если a < 0 — наоборот.
- Область определения квадратичной функции — все действительные числа.
- Множество значений: при a > 0 — [y₀; +∞), при a < 0 — (-∞; y₀].
Теория
Шаг 1: Определи коэффициенты a, b, c в формуле y = ax² + bx + c.
Шаг 2: По знаку a определи направление ветвей параболы (вверх или вниз).
Шаг 3: Найди координаты вершины по формуле x₀ = -b/(2a), затем подставь x₀ в функцию, чтобы найти y₀.
Шаг 4: Проведи ось симметрии через вершину.
Шаг 5: Найди нули функции, решив уравнение ax² + bx + c = 0 (используй дискриминант).
Шаг 6: Отметь точку пересечения с осью OY (0; c) и построй параболу, используя симметрию.
Примеры
- Пример 1расчёт
Мяч, брошенный вверх, движется по параболе
Решение
- высота h(t) = -5t² + 20t + 1 (в метрах), где t — время в секундах
- Пример 2случай
- Арка моста имеет форму параболы y = -0.01x² + 10, где x — горизонтальное расстояние, y — высота арки
- Пример 3случай
Прибыль компании может описываться квадратичной функцией P(x) = -2x² + 100x - 500, где x
Пояснение
- количество произведённой продукции
Интересно знать
- Форма параболы используется в конструкции антенн спутниковой связи: лучи, падающие параллельно оси, собираются в фокусе.
- Траектория полёта баскетбольного мяча при броске — это парабола, если не учитывать сопротивление воздуха.
- Мост Золотые Ворота в Сан-Франциско имеет форму параболы, что обеспечивает его прочность.
Связанные темы
- Квадратные уравнения
- Линейная функция
- Степенные функции
- Неравенства второй степени