График и свойства квадратичной функции

Научиться понимать, как устроена квадратичная функция, как её график зависит от коэффициентов, и как по графику определять её свойства.

Квадратичная функция встречается в физике (баллистика, свободное падение), в экономике (прибыль, издержки), в архитектуре (формы арок и куполов), в технике (траектории, линзы). Умение читать её график помогает анализировать реальные процессы и принимать решения.

• Графиком квадратичной функции всегда является парабола.
• Направление ветвей параболы определяется знаком коэффициента a: если a > 0 — ветви вверх, если a < 0 — ветви вниз.
• Вершина параболы — точка, где функция принимает наибольшее (при a < 0) или наименьшее (при a > 0) значение.
• Ось симметрии параболы — вертикальная прямая, проходящая через вершину.
• Коэффициент c показывает точку пересечения параболы с осью OY.
• Сдвиг графика y = x² вдоль осей координат описывается формулой y = (x - m)² + n, где (m; n) — координаты вершины.
• Нули функции — это точки пересечения параболы с осью OX, их количество зависит от дискриминанта квадратного уравнения.

Квадратичная функция

Функция вида y = ax² + bx + c, где a, b, c — числа, причём a ≠ 0.

Парабола

График квадратичной функции — кривая линия, симметричная относительно вертикальной прямой, проходящей через её вершину.

Вершина параболы

Точка параболы с наименьшим (если ветви вверх) или наибольшим (если ветви вниз) значением функции. Координаты: x₀ = -b/(2a), y₀ = y(x₀).

Ось симметрии параболы

Вертикальная прямая x = x₀, которая делит параболу на две зеркально равные части.

Нули функции

Значения x, при которых y = 0, то есть точки пересечения графика с осью OX.

Дискриминант

Число D = b² - 4ac, которое определяет, сколько корней имеет квадратное уравнение ax² + bx + c = 0.

• Формула вершины параболы: x₀ = -b/(2a), y₀ = c - b²/(4a).
• Ось симметрии: x = x₀.
• Если a > 0, ветви параболы направлены вверх; если a < 0 — вниз.
• Коэффициент c равен ординате точки пересечения параболы с осью OY: (0; c).
• Количество нулей функции: если D > 0 — два нуля, D = 0 — один нуль (вершина лежит на оси OX), D < 0 — нулей нет.
• Функция y = x² — простейшая квадратичная функция, её график — парабола с вершиной в начале координат.
• График y = (x - m)² + n получается из y = x² сдвигом на m единиц вправо (если m > 0) и на n единиц вверх (если n > 0).

1. Пример 1случай
   • Мяч, брошенный вверх, поднимается, замедляясь, затем падает — его высота над землёй меняется по закону квадратичной функции, график — парабола с ветвями вниз
2. Пример 2случай

   Струя воды из фонтана описывает параболу

   Пояснение

   • вода взлетает, достигает вершины и опускается
3. Пример 3случай

   Форма автомобильной фары — параболоид вращения

   Пояснение

   • лучи света от лампы в фокусе отражаются параллельным пучком
4. Пример 4случай
   • Прибыль магазина в зависимости от цены товара часто описывается квадратичной функцией: есть оптимальная цена, при которой прибыль максимальна

• Форма параболы используется в конструкции антенн-тарелок: сигнал, приходящий параллельно оси, отражается в фокус — точку, связанную с параболой.
• Траектория полёта мяча, пули или струи воды в фонтане — это парабола (если не учитывать сопротивление воздуха).
• Арки мостов и купола зданий часто имеют форму параболы, потому что она равномерно распределяет нагрузку.

• Квадратные уравнения
• Квадратные неравенства
• Функция y = x² и её график
• Преобразования графиков функций
• Свойства функций (монотонность, чётность)