Квадратные неравенства

Научиться решать квадратные неравенства, понимая связь между знаком квадратного трёхчлена и расположением параболы относительно оси Ox.

Квадратные неравенства нужны для решения многих прикладных задач: определения области допустимых значений выражений, нахождения промежутков, где физическая величина (например, высота, скорость, прибыль) удовлетворяет заданным условиям, а также для решения более сложных неравенств и систем.

• Квадратное неравенство — это неравенство, которое можно привести к виду ax² + bx + c > 0 (или <, ≥, ≤), где a, b, c — числа, причём a ≠ 0.
• Решение квадратного неравенства — это множество значений x, при которых квадратный трёхчлен принимает нужный знак.
• Графиком квадратичной функции является парабола, ветви которой направлены вверх, если a > 0, и вниз, если a < 0.
• Нули функции (корни уравнения ax² + bx + c = 0) — это точки пересечения параболы с осью Ox.
• Знак квадратного трёхчлена на промежутках между корнями определяется знаком старшего коэффициента и числом корней.
• Если дискриминант меньше нуля, то парабола не пересекает ось Ox, и знак трёхчлена совпадает со знаком a на всей числовой прямой.
• Метод интервалов — универсальный способ решения неравенств, основанный на чередовании знаков на промежутках.
• При решении квадратных неравенств важно правильно определять, включаются ли корни в ответ (для ≥ и ≤) или нет (для > и <).

Квадратное неравенство

Неравенство вида ax² + bx + c > 0 (или <, ≥, ≤), где a, b, c — числа, причём a ≠ 0.

Квадратичная функция

Функция вида y = ax² + bx + c, где a ≠ 0; её графиком является парабола.

Нули функции

Значения x, при которых y = 0; для квадратичной функции это корни уравнения ax² + bx + c = 0.

Дискриминант

Число D = b² - 4ac, которое определяет количество корней квадратного уравнения: если D > 0 — два корня, D = 0 — один корень, D < 0 — корней нет.

Промежутки знакопостоянства

Промежутки на оси Ox, на которых функция сохраняет свой знак (только положительна или только отрицательна).

Метод интервалов

Способ решения неравенств, при котором на числовой прямой отмечают нули функции и определяют знак на каждом промежутке.

• Если a > 0, ветви параболы направлены вверх; если a < 0 — вниз.
• Количество корней квадратного уравнения определяется дискриминантом: D > 0 — два корня, D = 0 — один корень (два совпадающих), D < 0 — нет корней.
• Если D > 0 и a > 0, то трёхчлен положителен вне промежутка между корнями и отрицателен между ними.
• Если D > 0 и a < 0, то трёхчлен положителен между корнями и отрицателен вне этого промежутка.
• Если D = 0, то парабола касается оси Ox в одной точке, и знак трёхчлена совпадает со знаком a на всей прямой, кроме точки касания.
• Если D < 0, то парабола не пересекает ось Ox, и знак трёхчлена совпадает со знаком a на всей числовой прямой.
• При решении неравенства с ≥ или ≤ корни включаются в ответ (точки закрашиваются), при > или < — не включаются (точки выкалываются).

1. Пример 1расчёт

   Пример

   Решение

   • решим неравенство x² - 4 > 0. Корни уравнения x² - 4 = 0: x = -2 и x = 2. Ветви параболы направлены вверх (a = 1 > 0). Значит, трёхчлен положителен вне промежутка между корнями: x < -2 или x > 2. Ответ: (-∞
   • -2) ∪ (2
   • +∞)
2. Пример 2расчёт

   Пример

   Решение

   • решим неравенство -x² + 2x - 1 ≥ 0
   • Здесь a = -1 < 0, D = 0, корень x = 1
   • Парабола касается оси Ox в точке x = 1 и ниже оси не опускается (так как a < 0, ветви вниз, но вершина на оси)
   • Значит, неравенство выполняется только в точке x = 1
   • Ответ: x = 1
3. Пример 3расчёт

   Пример

   Решение

   • решим неравенство x² + 1 < 0. Здесь D = -4 < 0, a = 1 > 0, парабола целиком выше оси Ox. Значит, неравенство не имеет решений. Ответ: ∅

• Парабола — это траектория полёта мяча, камня или струи воды, если не учитывать сопротивление воздуха. Поэтому квадратные неравенства помогают, например, определить, на какой высоте окажется мяч в заданный момент времени.
• Знак квадратного трёхчлена можно определить без построения графика, используя метод интервалов — этот метод пригодится и для решения более сложных неравенств, например, дробно-рациональных.

• Квадратные уравнения
• Квадратичная функция и её график
• Метод интервалов для рациональных неравенств