Степень с целым показателем

Научиться понимать и применять определение степени с целым показателем, а также свойства степеней для преобразования выражений.

Степени с целым показателем — это язык науки: ими записывают очень большие и очень малые величины (расстояния в космосе, размеры атомов, дозы лекарств). Понимание этой темы позволяет упрощать вычисления и решать уравнения, а также закладывает основу для изучения степеней с рациональным показателем и показательной функции в старших классах.

• Степень с целым показателем — это обобщение степени с натуральным показателем на случай нулевого и отрицательного показателей.
• Любое ненулевое число в нулевой степени равно единице: a⁰ = 1 (a ≠ 0).
• Степень с отрицательным показателем определяется как дробь: a⁻ⁿ = 1/aⁿ (a ≠ 0).
• Свойства степеней с натуральным показателем остаются справедливыми и для целых показателей.
• Стандартный вид числа позволяет компактно записывать очень большие и очень малые величины.
• Степень с целым показателем используется для записи чисел в стандартном виде, что важно в физике, химии, биологии и технике.

Степень с целым показателем

Выражение вида aⁿ, где n — целое число (положительное, отрицательное или ноль), а a — действительное число (основание).

Отрицательный показатель

Показатель степени, который является отрицательным целым числом. Например, a⁻³ = 1/a³.

Нулевой показатель

Показатель степени, равный нулю. Для любого ненулевого числа a⁰ = 1.

Основание степени

Число, которое возводится в степень. В выражении aⁿ основание — это a.

Показатель степени

Число, показывающее, сколько раз основание умножается само на себя (или, для отрицательного показателя, сколько раз основание стоит в знаменателе дроби).

Стандартный вид числа

Запись числа в виде a × 10ⁿ, где 1 ≤ a < 10, а n — целое число.

• Определение: aⁿ = a·a·...·a (n раз) для натурального n; a⁰ = 1 (a ≠ 0); a⁻ⁿ = 1/aⁿ (a ≠ 0).
• Свойство умножения: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ (для любых целых m и n).
• Свойство деления: aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ (a ≠ 0).
• Свойство возведения в степень: (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ.
• Свойство степени произведения: (ab)ⁿ = aⁿ · bⁿ.
• Свойство степени дроби: (a/b)ⁿ = aⁿ / bⁿ (b ≠ 0).
• Число в отрицательной степени — это дробь, числитель которой 1, а знаменатель — то же число в положительной степени: 2⁻³ = 1/8.
• Стандартный вид числа: например, 0.00045 = 4.5 × 10⁻⁴.

1. Пример 1расчёт

   Пример отрицательной степени

   Решение

   • 3⁻² = 1/3² = 1/9 ≈ 0.111
2. Пример 2расчёт

   Пример нулевой степени

   Решение

   • 7⁰ = 1, но 0⁰ не определено
3. Пример 3расчёт

   Пример свойства умножения

   Решение

   • 2³ · 2⁻² = 2³⁻² = 2¹ = 2
4. Пример 4случай

   Пример стандартного вида

   Пояснение

   • скорость света в вакууме ≈ 3 × 10⁸ м/с
5. Пример 5случай

   Пример из жизни

   Пояснение

   • доза лекарства 0.0005 г записывается как 5 × 10⁻⁴ г

• Масса атома водорода равна примерно 1.67 × 10⁻²⁷ кг — запись в стандартном виде с отрицательным показателем.
• Расстояние от Земли до Солнца около 1.5 × 10¹¹ м — запись с положительным показателем.
• В компьютерах отрицательные степени двойки используются для представления дробных чисел (например, 2⁻¹ = 0.5).

• Степень с натуральным показателем (7 класс)
• Свойства арифметических корней (8 класс)
• Степень с рациональным показателем (9 класс, далее)
• Показательная функция (10-11 класс)