Геометрическая прогрессия

Научиться понимать, что такое геометрическая прогрессия, находить её члены, сумму и использовать эти знания для описания реальных процессов с постоянным процентным ростом.

Геометрическая прогрессия встречается везде, где есть постоянный процентный рост или уменьшение: в финансах (сложные проценты), биологии (рост бактерий), физике (радиоактивный распад), информатике (алгоритмы). Понимание этой темы помогает принимать разумные решения, связанные с деньгами и прогнозами.

• Геометрическая прогрессия — это последовательность, в которой каждый следующий член получается умножением предыдущего на одно и то же число, называемое знаменателем.
• Знаменатель прогрессии (q) показывает, во сколько раз каждый следующий член отличается от предыдущего.
• Формула n-го члена позволяет найти любой член прогрессии, зная первый член и знаменатель.
• Сумма первых n членов геометрической прогрессии вычисляется по специальной формуле, которая зависит от знаменателя.
• Если знаменатель по модулю меньше единицы (|q| < 1), то прогрессия называется бесконечно убывающей, и её сумма конечна.
• Каждый член геометрической прогрессии (кроме первого и последнего) равен среднему геометрическому соседних с ним членов.

Геометрическая прогрессия

Последовательность чисел, в которой каждое следующее число получается умножением предыдущего на одно и то же число (знаменатель).

Знаменатель геометрической прогрессии (q)

Число, на которое умножают каждый член прогрессии, чтобы получить следующий. Вычисляется как отношение последующего члена к предыдущему.

Формула n-го члена

Формула, которая позволяет найти любой член прогрессии, зная первый член (b₁) и знаменатель (q): bₙ = b₁ * q^(n-1).

Сумма первых n членов

Сумма всех членов прогрессии от первого до n-го. Вычисляется по формуле Sₙ = b₁ * (qⁿ - 1) / (q - 1) при q ≠ 1.

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия, у которой |q| < 1. Её сумма при бесконечном числе членов является конечным числом.

• Формула n-го члена: bₙ = b₁ * q^(n-1). Например, для b₁ = 2, q = 3, пятый член равен 2 * 3⁴ = 162.
• Сумма первых n членов: Sₙ = b₁ * (qⁿ - 1) / (q - 1) при q ≠ 1. Если q = 1, то Sₙ = n * b₁.
• Свойство: каждый член прогрессии (кроме первого и последнего) равен среднему геометрическому соседних: bₖ² = bₖ₋₁ * bₖ₊₁.
• Сумма бесконечно убывающей прогрессии: S = b₁ / (1 - q) при |q| < 1.
• Если q > 1 и b₁ > 0, прогрессия возрастает; если 0 < q < 1, убывает; если q < 0, члены чередуют знаки.

1. Пример 1расчёт

   Банковский вклад: если положить 100 000 рублей под 10% годовых, то через год будет 110 000, через два — 121 000, через три — 133 100

   Решение

   • геометрическая прогрессия с b₁ = 100 000 и q = 1.1
2. Пример 2расчёт

   Рост бактерий: если одна бактерия делится каждые 20 минут, то через 2 часа их будет 2⁶ = 64

   Решение

   • геометрическая прогрессия с q = 2
3. Пример 3расчёт

   Радиоактивный распад

   Решение

   • количество радиоактивного вещества уменьшается в два раза за определённый период (период полураспада)
   • Например, если было 100 г, через период станет 50 г, ещё через период — 25 г
   • Это геометрическая прогрессия с q = 0.5
4. Пример 4расчёт

   Скидки в магазине: если цена товара каждый месяц снижается на 20%, то цена через месяц — 80% от исходной, через два — 64% и так далее

   Решение

   • геометрическая прогрессия с q = 0.8

• Геометрическая прогрессия лежит в основе легенды о шахматной доске: если на первую клетку положить 1 зерно, на вторую — 2, на третью — 4 и так далее, то на последней клетке будет 2⁶³ зёрен, а всего на доске — больше, чем урожай пшеницы за всю историю человечества.
• Сложные проценты в банках — это пример геометрической прогрессии: каждый год вклад умножается на один и тот же коэффициент (1 + процентная ставка).

• Арифметическая прогрессия
• Последовательности
• Степени и корни
• Проценты
• Показательная функция