Функции и их свойства: обзор

Научиться понимать и описывать свойства функции по её графику и формуле.

Функции — это математическая модель, которая описывает любые зависимости в реальном мире: от движения автомобиля до роста цен. Понимание свойств функций позволяет прогнозировать поведение процессов, находить оптимальные решения и анализировать данные в науке, технике и экономике.

• Функция — это правило, по которому каждому значению аргумента ставится в соответствие единственное значение функции.
• Область определения — это все допустимые значения аргумента, при которых функция имеет смысл.
• Область значений — это все значения, которые функция может принимать.
• График функции — это множество точек координатной плоскости, абсциссы которых — значения аргумента, а ординаты — соответствующие значения функции.
• Функция называется возрастающей, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
• Функция называется убывающей, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
• Чётная функция симметрична относительно оси ординат, нечётная — относительно начала координат.
• Нули функции — это значения аргумента, при которых функция равна нулю (точки пересечения графика с осью абсцисс).

Функция

Правило, по которому каждому значению одной переменной (аргументу) ставится в соответствие ровно одно значение другой переменной (функции).

Область определения

Множество всех значений аргумента, при которых функция определена (имеет смысл).

Область значений

Множество всех значений, которые функция может принимать при всех допустимых аргументах.

График функции

Линия на координатной плоскости, состоящая из точек, где x — аргумент, а y — соответствующее значение функции.

Возрастающая функция

Функция, у которой при увеличении аргумента значение функции тоже увеличивается (график «идёт вверх»).

Убывающая функция

Функция, у которой при увеличении аргумента значение функции уменьшается (график «идёт вниз»).

Чётная функция

Функция, для которой выполняется f(-x) = f(x); её график симметричен относительно оси OY.

Нечётная функция

Функция, для которой выполняется f(-x) = -f(x); её график симметричен относительно начала координат.

• Функция считается заданной, если указаны область определения и правило, по которому для каждого аргумента находится значение функции.
• График любой функции пересекает вертикальную прямую не более чем в одной точке (это следует из определения функции).
• Чтобы найти область определения, нужно исключить значения аргумента, при которых возникают запрещённые операции: деление на ноль, извлечение квадратного корня из отрицательного числа и т.п.
• Нули функции находятся решением уравнения f(x) = 0.
• Для проверки чётности/нечётности нужно подставить -x в формулу функции и сравнить с f(x) и -f(x).
• Промежутки возрастания и убывания определяются по графику: если при движении слева направо график поднимается — функция возрастает, опускается — убывает.

1. Пример 1случай

   Зависимость температуры воздуха от времени суток

   Пояснение

   • это функция: каждому моменту времени соответствует ровно одно значение температуры
2. Пример 2случай
   • Площадь квадрата S = a² — функция, где аргумент a (сторона) принимает только положительные значения, а область значений — все положительные числа
3. Пример 3случай

   График функции y = x²

   Пояснение

   • парабола, которая является чётной функцией: её ветви симметричны относительно оси OY
4. Пример 4случай

   Функция y = 1/x не определена при x = 0, поэтому её область определения

   Пояснение

   • все числа, кроме нуля
5. Пример 5случай

   При движении автомобиля с постоянной скоростью пройденный путь

   Пояснение

   • возрастающая функция времени: чем больше времени, тем больше путь

• Термин «функция» ввёл немецкий математик Готфрид Лейбниц в конце XVII века, но строгое определение появилось только в XIX веке.
• График чётной функции симметричен, как отражение в зеркале, установленном вдоль оси OY. Это свойство используют в компьютерной графике для упрощения расчётов.
• Многие природные процессы, например, охлаждение горячего чая, описываются убывающими функциями, а рост населения — возрастающими.

• Линейная функция и её график (7 класс)
• Квадратичная функция и её график (8 класс)
• Обратная пропорциональность (8 класс)
• Квадратные неравенства (9 класс)
• Прогрессии (9 класс)