Геометрия · 7 класс · Геометрия ФГОС · урок 4 · только теория
Смежные и вертикальные углы
Смежные и вертикальные углы — это два важных вида углов, которые возникают при пересечении двух прямых. Они помогают находить неизвестные углы на чертежах и в реальных конструкциях, не измеряя их транспортиром.
Чему учимся понимать
Научиться распознавать смежные и вертикальные углы, понимать их свойства и применять их для нахождения неизвестных углов.
Зачем это нужно
Эти свойства углов используются в геометрии для доказательства теорем, при решении задач на нахождение углов в треугольниках и многоугольниках, а также в строительстве, дизайне и навигации, где важно точно рассчитывать углы.
Опорные понятия
Главные тезисы
- Смежные углы образуются при пересечении двух прямых и имеют общую сторону, а две другие стороны являются продолжениями друг друга.
- Сумма смежных углов всегда равна 180 градусам.
- Вертикальные углы образуются при пересечении двух прямых и не имеют общих сторон, но имеют общую вершину.
- Вертикальные углы всегда равны друг другу.
- Если один из смежных углов прямой, то и второй тоже прямой.
- Биссектриса угла делит его на два равных угла.
- Если две прямые пересекаются, образуются четыре угла, из которых две пары смежных и две пары вертикальных.
Определения
- Смежные углы
- Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие стороны являются продолжениями одна другой. Вместе они образуют развёрнутый угол.
- Вертикальные углы
- Два угла, которые образуются при пересечении двух прямых и не имеют общих сторон, но имеют общую вершину. Они расположены напротив друг друга.
- Развёрнутый угол
- Угол, стороны которого являются продолжениями друг друга. Его градусная мера равна 180 градусам.
- Биссектриса угла
- Луч, который исходит из вершины угла и делит его на два равных угла.
Ключевые факты и правила
- Сумма смежных углов равна 180°: ∠1 + ∠2 = 180°.
- Вертикальные углы равны: ∠1 = ∠3 и ∠2 = ∠4 (при пересечении двух прямых).
- Если два угла равны, то смежные с ними углы также равны.
- Если один из смежных углов острый, то другой — тупой; если один прямой, то другой тоже прямой.
- При пересечении двух прямых образуются две пары вертикальных углов и четыре пары смежных углов.
Теория
Вспомни, что такое угол: фигура, образованная двумя лучами из одной точки (вершины).
Рассмотри пересечение двух прямых: в точке пересечения образуются 4 угла.
Найди пары углов, которые имеют общую сторону — это смежные углы. Запомни: их сумма 180°.
Найди пары углов, которые не имеют общих сторон, но лежат напротив друг друга — это вертикальные углы. Запомни: они равны.
Используй эти свойства, чтобы находить неизвестные углы, если известен хотя бы один угол.
Примеры
- Пример 1случай
- Когда ты открываешь дверь, угол между дверью и косяком и угол между дверью и стеной (с другой стороны) — смежные, их сумма всегда 180°
- Пример 2случай
- Если две дороги пересекаются, углы напротив друг друга (например, северо-западный и юго-восточный) — вертикальные, они равны
- Пример 3случай
При складывании бумаги пополам, сгиб образует развёрнутый угол, а линии сгиба
Пояснение
- смежные углы
Интересно знать
- Свойство вертикальных углов использовал ещё древнегреческий математик Фалес Милетский для измерения высоты пирамид, сравнивая тени.
- В архитектуре и строительстве знание смежных и вертикальных углов позволяет точно рассчитывать углы наклона крыш и стен, чтобы конструкции были устойчивыми.
Связанные темы
- Углы, измерение углов
- Перпендикулярные прямые
- Треугольники и их углы
- Параллельные прямые и секущая