Геометрия · 7 класс · Геометрия ФГОС · урок 6 · только теория
Первый признак равенства треугольников
Первый признак равенства треугольников — это правило, которое позволяет утверждать, что два треугольника полностью совпадают, если у них равны две стороны и угол между ними. Это один из трёх основных способов доказать равенство фигур в геометрии, который часто используется для решения задач и доказательства теорем.
Чему учимся понимать
Научиться понимать и применять первый признак равенства треугольников для доказательства равенства треугольников и их элементов.
Зачем это нужно
Этот признак лежит в основе многих геометрических доказательств и позволяет решать практические задачи, например, при измерении расстояний на местности или при конструировании, когда нужно убедиться, что две детали одинаковы.
Опорные понятия
Главные тезисы
- Два треугольника называются равными, если их можно совместить наложением.
- У равных треугольников все соответствующие стороны и углы равны.
- Первый признак равенства треугольников: если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
- Признак позволяет установить равенство треугольников, не проверяя все шесть элементов (три стороны и три угла), а только три из них.
- Угол между сторонами — это угол, образованный этими сторонами, то есть лежащий между ними.
- Первый признак часто используется как основа для доказательства других теорем и свойств геометрических фигур.
Определения
- Треугольник
- Геометрическая фигура, состоящая из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, соединяющих эти точки.
- Равные треугольники
- Треугольники, которые можно совместить наложением, при этом все соответствующие стороны и углы совпадают.
- Первый признак равенства треугольников
- Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
- Соответственные элементы
- Стороны или углы в равных треугольниках, которые совпадают при наложении.
Ключевые факты и правила
- Первый признак равенства треугольников формулируется так: если AB = A1B1, AC = A1C1 и угол A равен углу A1, то треугольники ABC и A1B1C1 равны.
- Признак работает только для угла, который находится между данными сторонами. Если угол не между ними, признак не применяется.
- Из равенства треугольников следует равенство всех их соответствующих элементов: третьих сторон и двух других углов.
- Первый признак равенства треугольников — это теорема, которая доказывается методом наложения.
Теория
Вспомни, что такое равные фигуры: они совпадают при наложении.
Пойми, что для равенства треугольников нужно, чтобы совпали все три стороны и все три угла, но это можно проверить не всегда.
Узнай, что первый признак сокращает проверку: достаточно убедиться в равенстве двух сторон и угла между ними.
Запомни формулировку признака и обрати внимание на условие: угол должен быть именно между этими сторонами.
Попробуй мысленно наложить один треугольник на другой: если две стороны и угол совпали, то и третья сторона совпадёт, и треугольники будут равны.
Примеры
- Пример 1случай
- Если у двух треугольников стороны 5 см и 7 см, а угол между ними 60°, то такие треугольники обязательно равны, даже если мы не знаем длину третьей стороны
- Пример 2случай
- При изготовлении одинаковых деталей на заводе, например, треугольных пластин, достаточно сверить две стороны и угол между ними, чтобы убедиться в их идентичности
- Пример 3случай
В природе
Пояснение
- если два листа клёна имеют одинаковые две жилки и угол между ними, то их форма будет совпадать, что позволяет использовать признак для сравнения
Интересно знать
- Первый признак равенства треугольников известен ещё со времён древнегреческого математика Евклида, который описал его в своих «Началах» около 300 года до н.э.
- Этот признак используется в строительстве: например, чтобы проверить, что две треугольные фермы крыши одинаковы, достаточно измерить две стороны и угол между ними.
Связанные темы
- Второй признак равенства треугольников
- Третий признак равенства треугольников
- Равнобедренный треугольник и его свойства
- Медианы, биссектрисы и высоты треугольника