Геометрия · 7 класс · Геометрия ФГОС · урок 11 · только теория
Прямоугольный треугольник. Острый угол
Прямоугольный треугольник — это треугольник с прямым углом. В нём два других угла всегда острые, а их сумма равна 90°. Мы научимся видеть эти углы, понимать их свойства и применять их в простых задачах и в жизни.
Чему учимся понимать
Научиться определять прямоугольный треугольник, находить острые углы и понимать их свойства.
Зачем это нужно
Прямоугольные треугольники встречаются повсюду: в строительстве, архитектуре, навигации, в технике. Понимание их углов помогает измерять расстояния, строить здания, создавать чертежи и даже ориентироваться на местности.
Опорные понятия
Главные тезисы
- В прямоугольном треугольнике один угол всегда равен 90°, а два других — острые.
- Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
- Если в треугольнике один угол прямой, то два других обязательно острые.
- Катеты — это стороны, образующие прямой угол, а гипотенуза — сторона, лежащая напротив прямого угла.
- Гипотенуза всегда длиннее каждого из катетов.
- Если в прямоугольном треугольнике один острый угол равен 30°, то катет, лежащий напротив него, равен половине гипотенузы.
- Прямоугольные треугольники можно сравнивать по катетам, гипотенузе и острым углам.
Определения
- Прямоугольный треугольник
- Треугольник, в котором один из углов равен 90° (прямой угол).
- Прямой угол
- Угол, равный 90°, обычно обозначается квадратиком на чертеже.
- Острый угол
- Угол, который меньше 90°.
- Катеты
- Две стороны прямоугольного треугольника, которые образуют прямой угол.
- Гипотенуза
- Самая длинная сторона прямоугольного треугольника, лежащая напротив прямого угла.
- Сумма углов треугольника
- Все углы любого треугольника в сумме дают 180°.
Ключевые факты и правила
- Сумма всех углов любого треугольника равна 180°.
- В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90° (так как 180° − 90° = 90°).
- Если один острый угол прямоугольного треугольника равен 30°, то второй острый угол равен 60°.
- Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.
- Гипотенуза всегда больше любого из катетов.
- Признаки равенства прямоугольных треугольников: по двум катетам, по катету и гипотенузе, по катету и прилежащему острому углу, по гипотенузе и острому углу.
Теория
Вспомни, что сумма углов любого треугольника равна 180°.
Если один угол прямой (90°), то на два других остаётся 180° − 90° = 90°.
Так как каждый из этих углов меньше 90°, они острые.
Значит, в прямоугольном треугольнике всегда два острых угла, и их сумма равна 90°.
Если знаешь один острый угол, всегда можно найти второй: вычти его из 90°.
Примеры
- Пример 1случай
- Лестница, прислонённая к стене, образует прямоугольный треугольник: стена — катет, земля — другой катет, лестница — гипотенуза
- Пример 2случай
- Крыша дома часто имеет форму равнобедренного треугольника, который можно разделить на два прямоугольных треугольника, проведя высоту
- Пример 3случай
Экран смартфона
Пояснение
- если провести диагональ, получится прямоугольный треугольник, где диагональ — гипотенуза, а стороны — катеты
Интересно знать
- Египетские строители использовали верёвку с узлами, чтобы получать прямой угол: они делали треугольник со сторонами 3, 4 и 5 — такой треугольник всегда прямоугольный.
- Если сложить два острых угла прямоугольного треугольника, получится ровно 90° — это свойство используют в строительных угольниках.
Связанные темы
- Сумма углов треугольника
- Равнобедренный треугольник
- Признаки равенства треугольников
- Теорема Пифагора