Геометрия · 7 класс · Геометрия ФГОС · урок 14 · только теория
Параллельные прямые. Признаки параллельности
Тема знакомит с понятием параллельных прямых и с тем, как доказать, что две прямые параллельны, не измеряя расстояние между ними. Мы научимся видеть равные и односторонние углы, которые образует секущая, и по ним делать вывод о параллельности. Это основа для доказательства многих теорем и решения задач по геометрии.
Чему учимся понимать
Научиться определять параллельность прямых по углам, образованным секущей.
Зачем это нужно
Параллельные прямые встречаются повсюду: в архитектуре, технике, на чертежах. Умение доказывать параллельность позволяет строить точные чертежи, решать задачи на доказательство и понимать свойства фигур, таких как параллелограмм или трапеция.
Опорные понятия
Главные тезисы
- Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.
- При пересечении двух прямых секущей образуются восемь углов, среди которых выделяют накрест лежащие, соответственные и односторонние.
- Если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
- Если соответственные углы равны, то прямые параллельны.
- Если сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
- Аксиома параллельных прямых: через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
- Признаки параллельности позволяют установить параллельность прямых, не измеряя расстояние между ними.
Определения
- Параллельные прямые
- Две прямые на плоскости, которые не пересекаются, сколько бы их ни продолжали.
- Секущая
- Прямая, которая пересекает две другие прямые в двух разных точках.
- Накрест лежащие углы
- Углы, которые лежат между прямыми по разные стороны от секущей (например, углы 3 и 5, 4 и 6 на рисунке).
- Соответственные углы
- Углы, которые лежат по одну сторону от секущей, один между прямыми, другой вне их (например, углы 1 и 5, 2 и 6).
- Односторонние углы
- Углы, которые лежат между прямыми по одну сторону от секущей (например, углы 3 и 6, 4 и 5).
- Признак параллельности
- Условие, при выполнении которого можно утверждать, что две прямые параллельны.
Ключевые факты и правила
- Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
- Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
- Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
- Аксиома параллельных прямых: через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
- Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой (свойство, вытекающее из аксиомы).
Теория
1. Определи, какие прямые и секущая даны на рисунке.
2. Найди пары углов: накрест лежащие, соответственные, односторонние.
3. Проверь условие одного из признаков: равенство накрест лежащих, равенство соответственных или сумму односторонних = 180°.
4. Если условие выполняется, сделай вывод: прямые параллельны.
Примеры
- Пример 1случай
- На чертеже две прямые a и b пересечены секущей c
- Если угол 3 равен углу 5 (накрест лежащие), то a ∥ b
- Пример 2случай
- Если на том же чертеже угол 1 равен углу 5 (соответственные), то a ∥ b
- Пример 3случай
- Если угол 3 + угол 6 = 180° (односторонние), то a ∥ b
- Пример 4случай
- В тетради в клетку горизонтальные линии параллельны, потому что они не пересекаются и расстояние между ними одинаково
Интересно знать
- Слово «параллельные» происходит от греческого «parallelos» — «идущие рядом».
- В евклидовой геометрии параллельные прямые не пересекаются, но в геометрии Лобачевского через точку можно провести бесконечно много прямых, параллельных данной.
- Рельсы железной дороги — пример параллельных прямых, но из-за перспективы они кажутся сходящимися вдали.
Связанные темы
- Смежные и вертикальные углы
- Аксиомы и теоремы
- Свойства параллельных прямых
- Треугольники