Свойства параллельных прямых

Научиться понимать и применять свойства углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей.

Свойства параллельных прямых лежат в основе доказательств многих геометрических теорем, помогают решать задачи на вычисление углов, а также используются в архитектуре, строительстве, черчении и дизайне для создания ровных и симметричных конструкций.

• Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.
• Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.
• Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180°.
• Аксиома параллельных прямых: через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
• Свойства параллельных прямых являются обратными к признакам параллельности: если прямые параллельны, то выполняются указанные соотношения углов.
• Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.
• Две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой (транзитивность параллельности).

Параллельные прямые

Прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются, сколько бы их ни продолжали.

Секущая

Прямая, которая пересекает две другие прямые в двух различных точках.

Накрест лежащие углы

Углы, которые лежат между параллельными прямыми по разные стороны от секущей и не являются соседними (например, углы 3 и 5 на рисунке).

Соответственные углы

Углы, которые лежат по одну сторону от секущей, один между параллельными прямыми, другой вне их, и расположены на одинаковых позициях (например, углы 1 и 5).

Односторонние углы

Углы, которые лежат между параллельными прямыми по одну сторону от секущей (например, углы 4 и 5).

• Если a ∥ b и c — секущая, то накрест лежащие углы равны: ∠3 = ∠5, ∠4 = ∠6.
• Если a ∥ b и c — секущая, то соответственные углы равны: ∠1 = ∠5, ∠2 = ∠6, ∠3 = ∠7, ∠4 = ∠8.
• Если a ∥ b и c — секущая, то сумма односторонних углов равна 180°: ∠4 + ∠5 = 180°, ∠3 + ∠6 = 180°.
• Аксиома параллельности: через точку, не лежащую на прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной.
• Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой.
• Если прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

1. Пример 1случай
   • Если две параллельные прямые пересечены секущей, и один из накрест лежащих углов равен 50°, то второй накрест лежащий угол тоже равен 50°
2. Пример 2случай
   • На чертеже дома параллельные линии карниза и цоколя образуют с вертикальной стойкой соответственные углы, которые равны, что обеспечивает ровность конструкции
3. Пример 3случай
   • При пересечении параллельных прямых секущей, если один из односторонних углов равен 110°, то другой равен 70°, так как их сумма 180°
4. Пример 4случай
   • В клетчатой тетради горизонтальные линии параллельны, и любая наклонная линия (секущая) образует с ними равные накрест лежащие углы

• Слово «параллельный» происходит от греческого «parallelos» — «идущий рядом».
• В евклидовой геометрии аксиома параллельности не доказывается, а принимается за основу. Более 2000 лет математики пытались её доказать, но это привело к созданию неевклидовых геометрий (Лобачевский, Риман).
• Рельсы железной дороги — пример параллельных прямых: они никогда не пересекаются, даже если уходят за горизонт.

• Признаки параллельности прямых
• Смежные и вертикальные углы
• Сумма углов треугольника