Геометрия · 7 класс · Геометрия ФГОС · урок 16 · только теория
Сумма углов треугольника
Тема о том, что сумма внутренних углов любого треугольника всегда равна 180°. Это одно из фундаментальных свойств геометрии, которое помогает находить неизвестные углы и понимать устройство фигур.
Чему учимся понимать
Научиться понимать и применять теорему о сумме углов треугольника для нахождения неизвестных углов и классификации треугольников.
Зачем это нужно
Это свойство используется в строительстве, архитектуре, навигации, компьютерной графике и даже в быту — например, при расчете углов крыши или раскроя материалов. Оно лежит в основе многих других геометрических теорем.
Опорные понятия
Главные тезисы
- Сумма углов любого треугольника равна 180°.
- Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
- В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°.
- В равностороннем треугольнике каждый угол равен 60°.
- В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
- Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный.
- Сумма углов треугольника не зависит от его размеров и формы.
Определения
- Треугольник
- Геометрическая фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, соединяющих эти точки.
- Внутренний угол треугольника
- Угол, образованный двумя сторонами треугольника и находящийся внутри него.
- Внешний угол треугольника
- Угол, смежный с внутренним углом треугольника, образованный стороной треугольника и продолжением другой стороны.
- Остроугольный треугольник
- Треугольник, у которого все три угла острые (меньше 90°).
- Прямоугольный треугольник
- Треугольник, у которого один угол равен 90°.
- Тупоугольный треугольник
- Треугольник, у которого один угол тупой (больше 90°).
- Равнобедренный треугольник
- Треугольник, у которого две стороны равны. Эти стороны называются боковыми, а третья — основанием.
- Равносторонний треугольник
- Треугольник, у которого все стороны равны.
Ключевые факты и правила
- Теорема о сумме углов треугольника: сумма внутренних углов любого треугольника равна 180°.
- Следствие 1: Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
- Следствие 2: В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°.
- Следствие 3: В равностороннем треугольнике каждый угол равен 60°.
- Свойство равнобедренного треугольника: углы при основании равны.
- Признак равнобедренного треугольника: если два угла треугольника равны, то он равнобедренный.
Теория
Вспомни, что такое угол и как он измеряется в градусах.
Пойми, что у любого треугольника три внутренних угла.
Запомни основную теорему: сумма этих углов всегда 180°.
Научись применять теорему для нахождения неизвестного угла, если известны два других.
Изучи следствия: внешний угол, прямоугольный треугольник, равносторонний треугольник.
Свяжи теорему с классификацией треугольников по углам и сторонам.
Примеры
- Пример 1расчёт
- В треугольнике два угла равны 50° и 60°. Чтобы найти третий угол
- нужно из 180° вычесть их сумму: 180° - (50° + 60°) = 70°
- Пример 2случай
- Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 40°
- Тогда углы при основании равны (180° - 40°) / 2 = 70° каждый
- Пример 3случай
- В прямоугольном треугольнике один острый угол равен 35°
- Другой острый угол равен 90° - 35° = 55°
- Пример 4расчёт
- Если внешний угол треугольника равен 120°, а один из несмежных внутренних углов равен 50°
- то другой несмежный угол равен 120° - 50° = 70°
Интересно знать
- Теорема о сумме углов треугольника была известна еще древним египтянам и вавилонянам, но строгое доказательство впервые дал древнегреческий математик Евклид в своих «Началах».
- Если сложить углы треугольника на сфере (например, на глобусе), их сумма будет больше 180°. Это свойство используется в геодезии и астрономии.
- Сумма углов треугольника всегда одинакова — 180°, независимо от того, насколько треугольник «сплюснут» или вытянут.
Связанные темы
- Смежные и вертикальные углы
- Параллельные прямые
- Признаки равенства треугольников
- Признаки подобия треугольников
- Свойства равнобедренного треугольника