Геометрия · 7 класс · Геометрия ФГОС · урок 19 · только теория
Неравенство треугольника
Неравенство треугольника — это простое, но очень важное правило: в любом треугольнике каждая сторона короче суммы двух других. Оно помогает понять, когда треугольник вообще может существовать, и используется в геометрии, физике и даже в навигации.
Чему учимся понимать
Научиться понимать и применять неравенство треугольника для проверки существования треугольника и сравнения длин сторон.
Зачем это нужно
Это правило лежит в основе многих геометрических доказательств, а также применяется в реальной жизни: при проектировании мостов, в навигации (кратчайший путь), в компьютерной графике и даже в спорте (стратегия перемещения).
Опорные понятия
Главные тезисы
- В любом треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон.
- Если для трёх отрезков выполняется неравенство треугольника, то из них можно построить треугольник.
- Неравенство треугольника — это необходимое и достаточное условие существования треугольника.
- Неравенство треугольника является следствием того, что прямая — кратчайшее расстояние между двумя точками.
- Для любого треугольника также верно, что каждая сторона больше разности двух других сторон.
- Неравенство треугольника используется для доказательства других геометрических утверждений.
Определения
- Треугольник
- Геометрическая фигура, состоящая из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, соединяющих эти точки.
- Неравенство треугольника
- Правило, по которому в любом треугольнике длина каждой стороны меньше суммы длин двух других сторон.
- Сторона треугольника
- Один из трёх отрезков, образующих треугольник.
- Существование треугольника
- Возможность построить треугольник с заданными длинами сторон; это возможно только если выполняются все три неравенства треугольника.
Ключевые факты и правила
- Формула неравенства: для треугольника со сторонами a, b, c выполняются условия: a < b + c, b < a + c, c < a + b.
- Если хотя бы одно из неравенств не выполняется (сторона равна или больше суммы двух других), то треугольник построить нельзя.
- Из неравенства треугольника следует, что сторона также больше разности двух других: a > |b - c|.
- Неравенство треугольника — это частный случай более общего принципа: кратчайший путь между двумя точками — прямая.
- В вырожденном случае, когда сторона равна сумме двух других, точки лежат на одной прямой, и треугольник не существует.
Теория
Вспомни, что треугольник — это фигура из трёх отрезков, соединяющих три точки.
Пойми, что если взять два отрезка и соединить их концы, то третий отрезок должен быть короче суммы первых двух, иначе концы не сойдутся.
Сформулируй неравенство для каждой стороны: каждая сторона меньше суммы двух других.
Проверь все три неравенства: если все выполняются, треугольник существует; если хотя бы одно нарушено — нет.
Используй неравенство для сравнения сторон и доказательства других свойств.
Примеры
- Пример 1случай
- Если у вас есть три палочки длиной 3 см, 4 см и 5 см, то из них можно сложить треугольник, потому что 3 + 4 > 5, 3 + 5 > 4, 4 + 5 > 3
- Пример 2расчёт
- Если взять палочки 2 см, 3 см и 6 см, то треугольник не получится
- так как 2 + 3 = 5 < 6
- Пример 3случай
В жизни
Пояснение
- чтобы дойти из дома до школы, можно идти напрямую, а можно через магазин
- Путь через магазин всегда длиннее, потому что ломаная длиннее прямой
Интересно знать
- Неравенство треугольника используется в навигации: если вы знаете расстояние до двух точек, то расстояние до третьей всегда меньше суммы этих расстояний.
- В физике неравенство треугольника применяется при сложении векторов: длина суммы векторов не превосходит суммы их длин.
- В спорте, например в футболе, игроки используют принцип неравенства треугольника, чтобы быстрее передавать мяч: пас по прямой короче, чем через третьего игрока.
Связанные темы
- Сумма углов треугольника
- Признаки равенства треугольников
- Построение треугольников по трём сторонам