Многоугольники. Выпуклый многоугольник

Научиться распознавать многоугольники, определять их элементы и отличать выпуклые многоугольники от невыпуклых.

Многоугольники — основа для понимания более сложных фигур и их свойств. Знание о выпуклости помогает в архитектуре, дизайне, компьютерной графике и даже в природе (например, форма пчелиных сот).

• Многоугольник — это фигура, состоящая из отрезков, соединённых последовательно, при этом соседние отрезки не лежат на одной прямой.
• Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через его сторону.
• У выпуклого многоугольника все внутренние углы меньше 180°.
• Любая диагональ выпуклого многоугольника лежит внутри него.
• Сумма углов выпуклого n-угольника равна (n-2)·180°.
• Многоугольник называется невыпуклым, если существует прямая, проходящая через его сторону, относительно которой он лежит по разные стороны.
• Периметр многоугольника — это сумма длин всех его сторон.

Многоугольник

Геометрическая фигура, образованная замкнутой ломаной линией без самопересечений, звенья которой называются сторонами, а их концы — вершинами.

Выпуклый многоугольник

Многоугольник, который целиком лежит по одну сторону от любой прямой, проведённой через любую его сторону.

Невыпуклый многоугольник

Многоугольник, у которого найдётся прямая, проходящая через сторону, такая, что часть многоугольника лежит по одну сторону, а часть — по другую.

Диагональ многоугольника

Отрезок, соединяющий две несоседние вершины многоугольника.

Периметр многоугольника

Сумма длин всех сторон многоугольника.

Внутренняя область многоугольника

Часть плоскости, ограниченная многоугольником, которая находится внутри него.

• Многоугольник с n вершинами называется n-угольником (например, треугольник — 3-угольник, четырёхугольник — 4-угольник).
• Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника вычисляется по формуле: (n-2)·180°.
• Число диагоналей выпуклого n-угольника равно n·(n-3)/2.
• В выпуклом многоугольнике каждая диагональ лежит внутри многоугольника.
• Если хотя бы один угол многоугольника больше 180°, то он невыпуклый.
• Периметр многоугольника обозначается буквой P и равен сумме длин всех его сторон.

1. Пример 1случай

   Квадрат

   Пояснение

   • это выпуклый четырёхугольник, у которого все стороны равны и все углы по 90°
2. Пример 2случай

   Прямоугольник

   Пояснение

   • выпуклый четырёхугольник, у которого противоположные стороны равны и все углы прямые
3. Пример 3случай

   Треугольник

   Пояснение

   • всегда выпуклый многоугольник, потому что любая прямая, проведённая через его сторону, оставляет весь треугольник по одну сторону
4. Пример 4случай

   Звезда (пятиконечная)

   Пояснение

   • невыпуклый многоугольник, так как у неё есть входящие углы, и она не лежит по одну сторону от некоторых прямых, проходящих через её стороны
5. Пример 5случай

   Паркет в комнате часто делают из прямоугольников или шестиугольников

   Пояснение

   • все они выпуклые, поэтому их легко стыковать без щелей

• Пчелиные соты состоят из правильных шестиугольников — это пример выпуклых многоугольников в природе, которые позволяют экономить воск и заполнять пространство без зазоров.
• Самый известный невыпуклый многоугольник — звезда (пентаграмма), у которой есть входящие углы больше 180°.
• В компьютерной графике все 3D-модели состоят из треугольников (выпуклых многоугольников), потому что их легко обрабатывать и закрашивать.

• Четырёхугольники
• Правильные многоугольники
• Площадь многоугольника
• Сумма углов треугольника