Понятие площади многоугольника

Понять, что такое площадь многоугольника, какая фигура принята за единицу площади и как работают свойства 1° и 2°.

Площадь комнаты в квадратных метрах, участка в сотках, спортивной площадки — это одна и та же величина. Без свойств площади нельзя вывести формулы квадрата, прямоугольника и дальше — параллелограмма и треугольника.

• Площадь многоугольника — величина той части плоскости, которую занимает многоугольник.
• Единица площади — квадрат, сторона которого равна единице длины (1 см² — квадрат со стороной 1 см).
• При выбранной единице площадь любого многоугольника выражается положительным числом: сколько раз единица и её части укладываются в фигуру.
• Свойство 1°: равные многоугольники имеют равные площади.
• Свойство 2°: если многоугольник составлен из нескольких многоугольников без наложений внутренних областей, его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.
• Равновеликие многоугольники имеют равные площади; равносоставленные можно разрезать на одинаковые части и сложить друг из друга.
• Считать площадь «квадратик за квадратиком» неудобно, поэтому в геометрии выводят формулы, опираясь на свойства площади.

Площадь многоугольника

Величина той части плоскости, которую занимает многоугольник.

Единица площади

Квадрат, сторона которого равна единице длины. Если единица длины — сантиметр, единица площади — квадратный сантиметр (см²).

Равновеликие многоугольники

Многоугольники, имеющие равные площади (форма при этом может быть разной).

Равносоставленные многоугольники

Многоугольники, которые можно разрезать на одинаковые части и сложить один из частей другого.

Свойство 2°

Площадь многоугольника, составленного из нескольких многоугольников (внутренние области не имеют общих точек), равна сумме площадей этих многоугольников.

• Свойство 1°: равные многоугольники имеют равные площади.
• Свойство 2°: S = S₁ + S₂ + … + Sₖ, если фигура составлена из частей без наложений.
• 1 см² = 100 мм²; 1 дм² = 100 см²; 1 м² = 100 дм² = 10 000 см².
• На рис. 204 прямоугольник из шести единичных квадратов имеет площадь 6 см²; «остаток» измеряют более мелкой сеткой (мм²).
• Равносоставленные многоугольники равновелики (следует из свойств 1° и 2°).
• Теорема Бойяи–Гервина: любые два равновеликих многоугольника равносоставлены (Бойяи, 1832; Гервин, 1833).

1. Пример 1случай
   • Прямоугольник 2 см × 3 см заполняется шестью квадратами 1 см × 1 см, поэтому его площадь 6 см²
2. Пример 2случай
   • Пятиугольник ABCDE разрезан диагональю AD на фигуры F и Q: S_ABCDE = S_F + S_Q
3. Пример 3случай
   • Трапеция MNPQ разрезана на два треугольника и прямоугольник: площадь трапеции равна сумме трёх площадей
4. Пример 4случай
   • Два равных прямоугольных треугольника можно сложить в прямоугольник, в равнобедренный треугольник или в параллелограмм — все три фигуры равновелики

• В 1832 году венгерский математик Ф. Бойяи доказал: если два многоугольника равновелики, их можно разрезать на одинаковые части и сложить друг из друга. В 1833 году то же независимо получил немецкий любитель математики П. Гервин.
• Сотка — это 100 м²: квадрат со стороной 10 м. Гектар — 10 000 м², то есть 100 соток.
• Спортивная площадка на фото в учебнике — многоугольник, составленный из прямоугольников и дуговых зон: площадь считают как сумму площадей частей (свойство 2°).

• Площадь квадрата
• Площадь прямоугольника
• Площадь параллелограмма и треугольника
• Многоугольники. Выпуклый многоугольник