Геометрия · 8 класс · Атанасян Л. С. и др. Геометрия. 7–9 классы · урок 8 · только теория
Площадь квадрата
Площадь квадрата со стороной a равна a². Это свойство 3° учебника: его доказывают для стороны 1/n, для конечной десятичной дроби и затем «зажимают» квадрат с любой стороной между двумя квадратами с известной площадью.
Чему учимся понимать
Понять, почему S = a², уметь находить площадь квадрата и сторону по площади, не путая см и см².
Зачем это нужно
Квадратная плитка, квадратный участок, клетка тетради — везде работает одна формула. От неё в следующем пункте получают площадь прямоугольника: квадрат со стороной a + b разрезают на два прямоугольника и два квадрата.
Опорные понятия
Главные тезисы
- Свойство 3°: площадь квадрата равна квадрату его стороны: если сторона равна числу a, то S = a².
- Если a = 1/n, единичный квадрат режут на n² равных квадратов; площадь каждого 1/n², то есть a².
- Если a — конечная десятичная дробь с n знаками, сторону делят на доли 1/10ⁿ и снова получают S = a².
- Если a — бесконечная десятичная дробь, квадрат со стороной a лежит между квадратами со сторонами aₙ и aₙ + 1/10ⁿ; при увеличении n «щель» становится как угодно малой, поэтому S = a².
- Пример учебника: сторона 2,1 см, S = (2,1)² = 4,41 см² — четыре квадратных сантиметра и 41 квадратный миллиметр.
- Пункт 55* в учебнике помечен звёздочкой: доказательство для произвольной стороны — повышенной трудности, формулой S = a² пользуются все.
Определения
- Свойство 3°
- Площадь квадрата равна квадрату его стороны.
- Площадь квадрата
- Если сторона квадрата равна a (в выбранных единицах длины), площадь равна a² (в соответствующих единицах площади).
- Единичный квадрат
- Квадрат со стороной 1; его площадь равна 1.
- aₙ
- Число, полученное из бесконечной десятичной записи a отбрасыванием всех цифр после n-го знака; тогда aₙ ≤ a ≤ aₙ + 1/10ⁿ.
Ключевые факты и правила
- Формула: S = a².
- Обратная задача: a = √S (сторона положительна).
- Квадрат со стороной 2,1 см: 4 полных см² плюс полоски по 0,1 см дают ещё 0,41 см², итого 4,41 см².
- 1 см² = 100 мм², поэтому 24 см² = 2400 мм² = 0,24 дм².
- Доказательство для a = 1/n опирается на свойства 1° и 2°: n² равных маленьких квадратов заполняют единичный без наложений.
- Квадрат — частный случай прямоугольника: если a = b, формула S = ab превращается в a².
Теория
Вспомни: единичный квадрат имеет площадь 1.
Для стороны 1/n разрежь единичный на n² равных квадратов — каждый имеет площадь 1/n².
Для десятичной дроби сделай то же с долями 1/10ⁿ.
Для любой стороны зажми квадрат между двумя «известными» квадратами: щель можно сделать как угодно узкой.
Пользуйся формулой S = a² и проверяй единицы: длина в квадрате даёт площадь.
Примеры
- Пример 1реакция
- Сторона 1,2 см → S = 1,44 см² (№545 а)
- Пример 2реакция
- Сторона 3/4 дм → S = 9/16 дм² (№545 б)
- Пример 3реакция
- Сторона 3√2 м → S = 9 · 2 = 18 м² (№545 в)
- Пример 4реакция
- Площадь 16 см² → сторона 4 см
- площадь 2,25 дм² → сторона 1,5 дм (№546)
Интересно знать
- Запись a² читается «а в квадрате» не случайно: это площадь квадрата со стороной a — отсюда и название степени.
- На клетчатой бумаге квадрат со стороной 3 клетки содержит ровно 9 клеток: 3² = 9. Так формула видна без десятичных дробей.
- Площадь квадрата со стороной √12 м равна 12 м²: сторона «некрасивая», площадь — целое число.
Связанные темы
- Понятие площади многоугольника
- Площадь прямоугольника
- Площадь параллелограмма и треугольника
- Прямоугольник. Ромб. Квадрат