Площадь прямоугольника

Вывести формулу S = ab, решать прямые и обратные задачи, видеть, как площадь меняется при растяжении сторон.

Пол, стена, тетрадный лист, паркетная планка — прямоугольники. Формула нужна, чтобы посчитать плитку и не перепутать «во сколько раз больше стороны» с «во сколько раз больше площадь».

• Теорема: площадь прямоугольника равна произведению его соседних сторон.
• Доказательство: на сторонах a и b строят квадрат со стороной a + b; он составлен из двух прямоугольников площади S и двух квадратов a² и b².
• По свойству 2°: (a + b)² = 2S + a² + b². Раскрыв скобки, получают 2ab = 2S, то есть S = ab.
• Квадрат — прямоугольник с равными соседними сторонами, поэтому S = a · a = a² согласуется со свойством 3°.
• Если одну пару сторон увеличить в 2 раза, площадь увеличится в 2 раза; если все стороны — в 4 раза; если одну пару увеличить в 2, а другую уменьшить в 2 — площадь не изменится.
• Равновеликие прямоугольник и квадрат: S = ab = c², откуда сторона квадрата c = √(ab).

Площадь прямоугольника

Произведение соседних сторон: S = a · b.

Соседние стороны прямоугольника

Две стороны, выходящие из одной вершины (длина и ширина).

Теорема о площади прямоугольника

Площадь прямоугольника равна произведению его соседних сторон.

Равновеликий квадрат

Квадрат, площадь которого равна площади данной фигуры; его сторона равна корню из этой площади.

• S = a · b.
• Обратные формулы: a = S / b, b = S / a.
• Доказательство через квадрат (a + b): (a + b)² = 2S + a² + b² ⇒ S = ab.
• №549: ×2 одна пара сторон → площадь ×2; ×2 все стороны → площадь ×4; ×2 и ÷2 у разных пар → площадь та же.
• Прямоугольник 8 м × 18 м равновелик квадрату со стороной 12 м, потому что 8 · 18 = 144 = 12².
• При равном периметре квадрат имеет большую площадь, чем неквадратный прямоугольник (№554: 36 100 м² против 35 200 м²).

1. Пример 1реакция
   • a = 8,5 см, b = 3,2 см → S = 27,2 см² (№548 а)
2. Пример 2реакция
   • a = 2√2 см, b = 3 см → S = 6√2 см² (№548 б)
3. Пример 3реакция
   • S = 684,8 см², a = 32 см → b = 21,4 см (№548 в)
4. Пример 4расчёт

   Пол 5,5 м × 6 м и планка 0,3 м × 0,05 м

   Решение

   • 33 / 0,015 = 2200 планок (№551)

• Тождество (a + b)² = a² + 2ab + b² на алгебре — это чертёж квадрата со стороной a + b: два квадрата и два прямоугольника.
• Два участка с одинаковой длиной забора могут иметь разную площадь: у квадрата она больше, чем у вытянутого прямоугольника.
• Паркет 30 см × 5 см на пол 5,5 м × 6 м: 2200 планок — типичный расчёт ремонта через отношение площадей.

• Понятие площади многоугольника
• Площадь квадрата
• Площадь параллелограмма и треугольника
• Прямоугольник. Ромб. Квадрат