Орбита

Меню

гость

Войти
← К списку тем

Геометрия · 8 класс · Геометрия ФГОС · урок 13 · только теория

Подобные треугольники

Тема «Подобные треугольники» — это раздел геометрии, который изучает фигуры одинаковой формы, но разного размера. Мы узнаем, как, зная всего несколько параметров одного треугольника, можно вычислить размеры другого, и как этот принцип применяется для измерения расстояний до недоступных объектов.

Чему учимся понимать

Научиться определять, являются ли треугольники подобными, и использовать их свойства для нахождения неизвестных сторон и углов.

Зачем это нужно

Подобие — это фундаментальная идея, лежащая в основе картографии, архитектуры, дизайна и даже работы нашего глаза. Оно позволяет строить уменьшенные копии зданий, создавать карты местности и измерять высоту гор или ширину рек, не покидая своего места.

Опорные понятия

Подобные фигурыСоответственные стороныСоответственные углыКоэффициент подобия (k)Первый признак подобия (по двум углам)Второй признак подобия (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними)Третий признак подобия (по трем пропорциональным сторонам)Средняя линия треугольникаОтношение площадей подобных фигур

Главные тезисы

  • Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого.
  • Сходственными называются стороны, лежащие напротив равных углов.
  • Отношение сходственных сторон подобных треугольников называется коэффициентом подобия (k).
  • Первый признак подобия: если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.
  • Второй признак подобия: если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.
  • Третий признак подобия: если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.
  • Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: S₁/S₂ = k².
  • Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине.

Определения

Подобные треугольники
Треугольники, у которых углы равны, а стороны, лежащие напротив равных углов, пропорциональны (отличаются в одно и то же число раз).
Коэффициент подобия (k)
Число, которое показывает, во сколько раз стороны одного треугольника больше или меньше сторон другого подобного ему треугольника.
Средняя линия треугольника
Отрезок, соединяющий середины двух его сторон.
Сходственные стороны
Стороны в подобных треугольниках, которые лежат напротив равных углов.

Ключевые факты и правила

  • Если треугольники подобны, то отношение их периметров также равно коэффициенту подобия k.
  • Отношение площадей подобных треугольников равно k² (квадрату коэффициента подобия).
  • Средняя линия треугольника отсекает от него подобный треугольник с коэффициентом подобия k = 1/2.
  • В подобных треугольниках биссектрисы, медианы и высоты, проведенные к сходственным сторонам, относятся как коэффициент подобия k.
  • Признаки подобия позволяют доказать подобие, не проверяя все три угла и все три стороны, а только некоторые из них.

Теория

Поймите, что подобие — это про форму, а не про размер: подобные фигуры выглядят одинаково, но одна может быть больше другой.

Научитесь находить соответственные углы и стороны: углы равны, а стороны лежат напротив равных углов.

Запомните три признака подобия как инструменты для быстрой проверки: по двум углам, по двум сторонам и углу между ними, по трем сторонам.

Осознайте связь с коэффициентом подобия k: все линейные размеры (стороны, периметр, высоты) умножаются на k, а площадь — на k².

Применяйте свойства средней линии: она всегда параллельна основанию и вдвое короче его, что автоматически создает подобный треугольник.

Примеры

  1. Пример 1расчёт

    Фотография и оригинал

    Решение

    • если вы распечатали фото 10×15 см, а затем сделали копию 20×30 см, то все объекты на копии подобны объектам на оригинале
    • Коэффициент подобия k = 2, а площадь копии в 4 раза больше площади оригинала
  2. Пример 2случай

    Карта местности

    Пояснение

    • расстояние между двумя деревнями на карте в масштабе 1:100000 ровно в 100000 раз меньше, чем на местности
    • Это прямое применение подобия треугольников
  3. Пример 3случай

    Тень от дерева

    Пояснение

    • если в солнечный день воткнуть палку вертикально в землю, то треугольник, образованный палкой и ее тенью, подобен треугольнику, образованному деревом и его тенью
    • Зная высоту палки и длины теней, можно найти высоту дерева
  4. Пример 4случай

    Елочная гирлянда

    Пояснение

    • если вы вешаете гирлянду от вершины елки к основанию, то маленькие треугольники, образованные соседними лампочками, подобны большому треугольнику, образованному всей елкой

Интересно знать

  • Идея подобия лежит в основе работы любого проектора: изображение на экране — это увеличенная копия кадра на пленке или матрице, и все размеры на экране ровно в k раз больше исходных.
  • Древнегреческий математик Фалес Милетский измерил высоту египетской пирамиды, используя подобие треугольников. Он дождался момента, когда длина его тени стала равна его росту, и измерил длину тени пирамиды — она оказалась равна ее высоте.
  • Наш глаз оценивает расстояние до предметов, используя принцип подобия: мозг знает примерный размер объекта (например, дерева) и сравнивает его с размером изображения на сетчатке, вычисляя расстояние.

Связанные темы

  • Признаки равенства треугольников (7 класс)
  • Пропорциональные отрезки
  • Площадь треугольника
  • Теорема Пифагора
  • Синус, косинус, тангенс острого угла (9 класс)