Признаки подобия треугольников

Научиться определять, являются ли два треугольника подобными, используя три признака подобия.

Подобие треугольников лежит в основе многих практических задач: от измерения высоты дерева или здания до создания карт и чертежей. Понимание признаков подобия позволяет решать задачи на нахождение расстояний и размеров без непосредственного измерения.

• Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого.
• Первый признак подобия: если два угла одного треугольника равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.
• Второй признак подобия: если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого и углы между этими сторонами равны, то треугольники подобны.
• Третий признак подобия: если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то треугольники подобны.
• Коэффициент подобия показывает, во сколько раз стороны одного треугольника больше или меньше сторон другого.
• Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
• Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Подобные треугольники

Треугольники, у которых углы равны, а стороны, лежащие против равных углов, пропорциональны.

Коэффициент подобия

Число, показывающее, во сколько раз стороны одного треугольника больше или меньше сторон другого подобного треугольника.

Сходственные стороны

Стороны подобных треугольников, лежащие против равных углов.

Первый признак подобия

Если два угла одного треугольника равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

Второй признак подобия

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого и углы между этими сторонами равны, то треугольники подобны.

Третий признак подобия

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то треугольники подобны.

• Первый признак подобия: ∠A = ∠A1, ∠B = ∠B1 ⇒ ΔABC ∼ ΔA1B1C1.
• Второй признак подобия: AB/A1B1 = AC/A1C1 и ∠A = ∠A1 ⇒ ΔABC ∼ ΔA1B1C1.
• Третий признак подобия: AB/A1B1 = BC/B1C1 = AC/A1C1 ⇒ ΔABC ∼ ΔA1B1C1.
• Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия: P1/P2 = k.
• Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: S1/S2 = k².
• Если треугольники подобны, то соответствующие углы равны, а стороны пропорциональны.

1. Пример 1случай
   • Если на карте расстояние между двумя городами равно 5 см, а масштаб карты 1:1000000, то на местности это 50 км
   • Здесь треугольники, образованные на карте и на местности, подобны, и коэффициент подобия равен масштабу
2. Пример 2случай
   • Чтобы измерить высоту дерева, можно воткнуть палку вертикально и сравнить длину её тени с длиной тени дерева
   • Треугольники, образованные палкой и её тенью, и деревом и его тенью, подобны, так как углы равны (солнце светит под одним углом)
3. Пример 3случай
   • При создании чертежа детали в масштабе 2:1 все размеры увеличиваются в 2 раза, и форма детали сохраняется — это пример подобных треугольников

• Признаки подобия треугольников были известны ещё древнегреческому математику Фалесу, который с их помощью измерил высоту египетских пирамид, сравнивая тень от пирамиды с тенью от палки.
• Подобие треугольников используется в фотографии: чтобы напечатать снимок нужного размера, изображение масштабируют, сохраняя пропорции, что основано на подобии.

• Пропорциональные отрезки
• Площадь треугольника
• Теорема Пифагора
• Тригонометрические функции острого угла